# 李宏毅_Linear Algebra Lecture 13: What can we know from RREF? (part 4)
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## Linear Algebra Lecture 13: What can we know from RREF? (part 4)
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課程說明RREF與Span的關係

### Consistent or not

當一個system of linear equation它是consistent，這意味著vector-$b$是在$A$的column的span裡面，那它有解。

可是當你的RREF的最後一個column有non-zero的值，那它就會無解($0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3=1$)，這時候它是inconsistent，也就是它的vector-$b$並不存在$A$的column的span裡面。
### Consistent or not

所以我們瞭解到，system of linear equation是否為consistent可以由它的Augmented Matrix的RREF看出來。只要存在紅框處的狀況($0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 + 0 \cdot x_3=1$)，那它就是無解，也就是inconsistent。

換句話說，只要Rank$A \neq rank[A \space b]$，那它就是無解，這件事情必須要將$b$考慮進來。
### Consistent or not

如果有一個system of linear equation它對所有的$b$都是consistent，這意味著其Augmented Matrix做完RREF之後永遠不會有非零值存在最後一個column中。

這代表$A$的RREF不能存在非零的row，換句話說，$A$的rank也會等於row的數目。
### Consistent or not

上面所提，有一個system of linear equation它對所有的$b$都是consistent，最後我們知道，這代表$A$的rank會等於row的數目。

反過來說，一個mxn的matrix，只要它的rank=m，那就代表它永遠都有解。永遠都有解就代表不管使用那一個vector-$b$，都可以用$A$的column做linear combination之後組合出來。

或者說，將$A$的n個column做span(做完span之後得到一個更大的vector set)，不管是那一個$b$，它都一定落在這個span後的vector set裡面。

這意味著這n個column做完span之後會是整個$R^m$維的空間。

舉例來說，假設有一個3x4的matix-$A$，要讓這個$A$永遠都有解就要讓它的rank等同於row的數目，即rank=3。這個意思就是說，你最多可以從這個matrix中挑出3個independent的column。也代表你只需要3個independent的vector做span之後就可以得到$R^3$這個3維空間。

這件事我們可以推出，在一個m維空間中有超過m個vector的時候，那它一定是dependent。直觀來看，假設你有m個vector，它們是independent，它可以span整個m維的空間，這時候再加入一個vector，這個vector一定可以用原來的m個vector做linear combination得到。

因此，超過m個vector的vector set，它一定是dependent。
### Consistent or not

以一個2維空間為例，在2維空間中只需要兩個independent的vector-$a,b$就可以span整個2維空間(在2維空間中兩個independent的vector代表它們不是平行的，3維空間中無法以是否行平來判斷這3個vector是否可以span整個3維空間，但是如果在3維空間中有3個independent的vector，那它就可以span整個3維空間)，這時候空間中隨便一個vector-$c$它都會是$a,b$的linear combination的組合。

問題：
如果有一個3x4的matrix，問你這四個vector是否能夠span整個3維空間?

說明：
要做的就是看能否找出三個independent的vector。可以將它做RREF，然後確認其rank是否為3，若是，那就可以span整個3維空間。

今天我們瞭解到，如果有m個independent的vector，那就可以span m維的空間。
### Full Rank: Rank = n & Rank = m

這邊討論當Matrix為mxn時，rank=n與rank=m的情況為何。

rank=n:
* rank一定是小於等於min(m, n)，當rank=n就意味著n是較小的，也意味著這個matrix不是方型就是高瘦的
* 這種情況下以這個vector set來組system of linear equation最多就只會有一組解，也就是要嘛無解，要嘛唯一解
* 也代表所有的column都會是pivot column
* 也就是做完RREF之後，所有的column都會是stand vector
* 這種matrix做完RREF之後，它的上半部一定是Identity matrix，而下半部一定是zero matrix

### Full Rank: Rank = n & Rank = m

rank=m:
* rank=m，代表這個matrix不是方型就是矮胖型
* 代表在做完RREF之後有m個row是non-zero
* 代表在做完RREF之後每一個row都有pivot position
* 以此做system of linear equation會永遠有解，也就是至少有一個解，也就是不是一個解就是無窮多解，這取決於column是dependent或independent(方型matrix就會有一個解，如果是矮胖又dependent那就有無窮多解)
* 如果$Ax=b$永遠有解，那意味著將A的column拿來做Span會等於整個m維的空間