# 期待効用について(授業メモ・テスト対策)
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これは、ただの大学生の授業メモなので内容の正確さは保証できません。ご了承ください。

また、当メモは更生中。

## 期待効用とは(定義)
>ミクロ経済学で、不確実性の議論の際に用いられる概念である。市場において不確実性が存在し、複数の状態i (i = 1, ... , n ) があり、それぞれの状態i が起きる確率αi が与えられている、という環境の元で得られる効用の期待値を表している。
>（引用：ウィキペディア）

「はっ⁇」ってなるよな。

わかる。

具体的に見ていこうぜ
### 具体例

例えば、次の問題を考えてみよう
#### （問）
>ある漁師の所得は，80%の確率で4，20%の確率で16になるとする。この漁師の効用が「所得の2乗」で表されるとき，この漁師が漁業をすることで得られる期待効用はいくらか？半角数字で答えなさい。
>（第13回復習テスト第二問より）

【解答】
まず、効用が「所得の二乗」と書いてあるので、
$$（効用）＝（所得）^2$$
という式が成り立つ。
（※今回はたまたまこうなっただけで、効用と所得が常に2乗の関係であるわけではないので注意)

また、今回の問題設定を図示すれば、以下のようになる。

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（期待値について）
では、**期待値**とはなんだろうか？
具体例を一つ上げておこう。

例えば、20％の確率で100円儲かり、80％の確率で50円儲かるゲームがあったとすると、このゲームにおける期待値は
$$期待値＝100\times(\frac{20}{100})+50\times(\frac{80}{100})=60$$

という計算で、**60**と求まる。

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では、今回求めたい**期待効用**とは、「効用の期待値」
つまり、さっきのゲームの例でいう「100円儲かる」の所を「○○の効用が得られる」に変えて計算すればよいわけだ。

今回でいけば、「所得が4」→「16の効用が得られる」と言い換えられる。
以上のように考えれば、今回は
$$期待効用＝4^2\times(\frac{80}{100})+16^2\times(\frac{20}{100})=64$$
という計算式で、期待効用は**64**となる。

では次に、期待効用についてどんな問題が出ても対応できるように一般化してみよう。

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## 一般化
例えば、次のような問題を考えてみよう

#### (問)
>ある漁師の所得は、$a_1$%の確率で$x_1$,$a_2$％の確率で$x_2$,...,$a_n$％の確率で$x_n$とする。この漁師の効用が$f(x)$で表されるとき、この漁師が漁業をすることで得られる期待効用を答えなさい。

前問と同様に図示するとこうなる。

因みに、$\sum^n_{k=1}a_n=100$です。(中学数学でやった起こりうるすべての場合の確率を足すと1になるというあれで、今回は%なので100。)

したがって、
$$期待効用=f(x_1)\times(\frac{a_n}{100})+f(x_2)\times(\frac{a_2}{100})+・・・+f(x_n)\times(\frac{a_n}{100})=\sum^n_{k=1}f(x_k)\frac{a_k}{100}$$

と表される。

具体例を挙げて確認しよう。<<例示は理解の試金石>>

・10%の確率で100円、30%の確率で50円、また60%の確率で10円儲かる。効用が「所得の2乗」とする。

という設定にすれば、

$n=3,f(x)=x^2$
$x_1=100,a_1=10,x_2=50,a_2=30,x_3=10,a_3=60$
なので、
$期待効用=100^2\times(\frac{10}{100})+50^2\times(\frac{30}{100})+10^2\times(\frac{60}{100})=1810$

となる。

今回は期待効用について具体的な求め方とその一般化まとめてみましたが、いかがだったでしょうか。