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title: 6.6 理想濾波器

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# 6.6 理想濾波器

## 什麼是濾波器?
我們現在要來講整本書裡面提到的第一個系統: 濾波器(filter)。顧名思義，濾波器可以將某些波濾掉。更精準地說，濾波器「選擇」某些頻率的波留下，其他丟掉。

濾波器在很多地方都有應用，一個生活上的例子是音樂上的。當我們想要聽到更多低頻的聲音，例如bass、鼓，或是更多高頻的聲音，如弦樂等等，我們可以透過濾波器改變不同頻率的聲音大小。你應該有看過下面的這種介面，或至少看過DJ之類的在用:
![image](https://hackmd.io/_uploads/rydBTQpgZl.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/BkdbAQ6gbl.png)

這兩個分別是Audacity和Spotify的等化器(EQ, equalizer)。你在調的東西，就是一個系統的頻率響應。在音樂上被叫做等化器的東西，本質上跟濾波器一樣。只是濾波器通常指把某些頻率完全去掉，而等化器只是調整各個頻率之間的關係。

另外，對於熟悉電路的讀者，我們在把AC轉成DC的時候，除了過全橋整流器之外，還會通過電容，進而使漣波減少。這也是濾波的一種: 當我們連接了RC電路，它會濾掉高頻(AC成分)留下低頻(DC成分)以達到穩壓的效果。

## 濾波器的種類
以下是幾種常見的濾波器種類:
1. 低通濾波器(Low-Pass Filter, LPF)
2. 高通濾波器(High-Pass Filter, HPF)
3. 帶通濾波器(Band-Pass Filter, BPF)
4. 帶阻濾波器(Band-Stop Filter)

顧名思義，低通濾波器就是只讓低頻率的波通過，其他丟掉。在等化器上會長得像這樣:
![image](https://hackmd.io/_uploads/BJg2k46eZx.png)
高通濾波器則是相反，只讓高頻的波通過，其他丟掉。

至於帶通、帶阻則是只留下或丟掉一個區間內的頻率，例如:
![image](https://hackmd.io/_uploads/SyMwQETebl.png)
這就是一個帶通濾波器。

一個最好理解濾波器的方式就是利用音訊。所以你可以從這裡下載[Audacity](https://github.com/audacity/audacity/releases)，找到Effect > Graphic EQ，像上面的圖一樣做出各種濾波器，聽聽看聲音有什麼區別。

我直接暴雷一點結論: 當你使用一個低通濾波器濾掉2kHz以上的波，聽起來會有錄音帶的效果，當你把頻率丟掉更多，只留下200 Hz以下的波，聽起來就會像從遠處聽演唱會漏音，只有重低音。當你建立一個高通濾波器，把400 Hz以下全部丟掉時，聽起來會像是從手機錄音回放的效果。

## CT理想濾波器
前面提到的濾波器種類，只是一個大概的分類，實際上:
![image](https://hackmd.io/_uploads/HkqV1pTxbx.png)
這樣也可以算是低通濾波器。雖然它的頻率響應並不是很平整的，但我們只分一個大概，並不是很硬性的分類。

為了簡化討論還有方便計算，我們定義**理想的濾波器**。它的增益只有0或1，並且在邊界，所以在頻域上看起來就是一個step。在這邊再借一下Oppenheim的圖:
![image](https://hackmd.io/_uploads/H13cxTTgbl.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/HJsjxp6eWe.png)
從上到下分別是低通、高通、帶通濾波器的頻率響應圖。其中$\omega_c$稱為**截止頻率**(cutoff/corner frequency)。不同的截止頻率也會使濾波器有不一樣的效果，是濾波器最重要的參數。特別的，對於帶通濾波器，我們有$B=\omega_2-\omega_1$稱為**頻寬**或**帶寬(bandwidth)**。

注意到我們在等化器裡面調整的都只有正的頻率，但是因為我們使用複指數函數，所以也會有負的頻率出現。理想濾波器的頻域是偶函數，在正頻率或負頻率的頻率響應是對稱的，我們所調整的等化器其實也是把正頻率對稱到負頻率的部分，才變成我們看到的圖。這是因為一個弦波$\cos(\omega_0 t) \leftrightarrow \pi[\delta(\omega-\omega_0)+\delta(\omega+\omega_0)]$有正負兩個頻率，我們必須保證它通過之後正負頻率的分量都得到一樣的增益。另外，偶函數也保證了濾波器的時域(脈衝響應)是實數的。

## DT理想濾波器
DT的定義跟CT完全一樣，不過如果你直接去找課本的圖，通常會看到:
![image](https://hackmd.io/_uploads/BJ8cZTTg-l.png)
非常的令人疑惑，到底高通、低通、帶通在哪裡? 明明每個看起來都跟帶通長的一樣啊? 這時候就要回想[2.2 複指數函數](/@seanyih/signal-2-2)講過的重要觀念:
1. DT只有寬度為$2\pi$的頻域是「真的」，其他頻率在DT都跟這段裡面的頻率等價。具體來說，對DT有$\omega=\omega+2k\pi$。
2. 「$\pi$的偶數倍」都是低頻，「$\pi$的奇數倍」都是低頻。

或是更簡單的，我們只取$[-\pi,\pi)$出來看:
![image](https://hackmd.io/_uploads/H15KZa6xZx.png)
看起來就跟CT完全一樣了! 剩下的就只是把這個樣式複製貼上，拓展到整個實數軸而已。所以明顯a是低通、b是高通、c是帶通。

## 不可能的任務
理想濾波器有很多好處，比如說我需要穩壓，我就弄一個截止頻率0.0000001Hz的低通濾波器，問題就解決了。或是在後面我們學到通訊的時候，我只想要某一段頻率，我就用個帶通選出來，其他丟掉。這可以讓我們理論上得到很多功能強大的系統，很可惜，**理想濾波器在現實中不可能實現**。

我們考慮一個低通濾波器，截止頻率是$W$。跑到CTFT轉換表那邊，查表，得到它的脈衝響應是:
$$
\frac{\sin(Wt)}{\pi t}
$$這個東西的長度是無限長，而且向正負兩邊展開。這代表我們要嘛有個全知全能的系統，在你打開的時候就知道你兩年後要送進什麼信號而開始響應。要嘛是送進這個系統之後，它從$t=-\infty$開始運轉，然後經過無限長的延遲之後再輸出。小學生都知道這兩者聽起來有多瞎，所以我們不可能有理想濾波器。



## 非理想截止頻率
對於一個非理想的濾波器，我們定義，比最大增益**低3dB**的位置是截止頻率。如圖所示:
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJupVTplbx.png)
這個定義會在之後討論一階、二階系統的時候出現。

{%hackmd @seanyih/signal-main %}

