# 6.1 四種傅立葉轉換的整理

我們現在學了四種名字很像、做的事也很像的變換。這裡把四種變換的名稱、目的全部整理一遍。

## 目標
| 名稱 | 時域特徵 | 頻域特徵 |
| :--------: | :--------: | :--------: |
| 連續時間傅立葉級數(CTFS)| 連續、週期 | 離散、非週期 |
| 離散時間傅立葉級數(DTFS)| 離散、週期 | 離散、週期 |
| 連續時間傅立葉轉換(CTFT)| 連續、非週期 | 連續、非週期 |
| 離散時間傅立葉轉換(DTFT)| 離散、非週期 | 連續、週期 |

首先看一下命名: 連續時間、離散時間顧名思義是指時域信號的種類。至於**級數**用在週期信號上--因為其頻域是離散的。反之**轉換**用在非週期信號上--因為其頻域是連續的。

透過剛剛的討論其實會發現:
1. 連續的時域 -> 非週期的頻域
2. 離散的時域 -> 週期的頻域

反之亦然:
1. 非週期的時域 -> 連續的頻域
2. 週期的時域 -> 離散的頻域

這點非常重要，有助於你理解4種變換的本質。

### 群
如果是對數學有一咪咪基礎的讀者，應該可以看出時域和頻域的定義域其實就是四種不同的群:
- 離散、週期: 模n循環群，$\mathbb{Z}_n$
- 離散、非週期: 整數群，$\mathbb{Z}$
- 連續、週期: 圓群，$\mathbb{T}$
- 連續、非週期: 實數，$\mathbb{R}$

而上面的整張表格其實可以統整成三個規則:
- $\mathbb{Z}_n \leftrightarrow \mathbb{Z}_n$
- $\mathbb{Z} \leftrightarrow \mathbb{T}$
- $\mathbb{R} \leftrightarrow \mathbb{R}$

## 變換公式
變換公式分成**分析**和**合成**。分析公式將時域信號轉成頻域表示，也可以想成求出正交基上的投影量。合成公式則是將頻域信號轉回時域，也可以想成是拿分量重新合成出原本的向量。

| 名稱 | 分析公式 | 合成公式 |
| :--------: | :--------: | :--------: |
| 連續時間傅立葉級數(CTFS)| $a_k=\frac{1}{T_0} \int_{T_0} x(t)e^{-jk\omega_0t}\,dt$ | $x(t)=\sum_{k=-\infty}^{\infty}a_k e^{jk\omega_0t}$ |
| 離散時間傅立葉級數(CTFS)| $a_k=\frac{1}{N_0} \sum_{n=\langle N_0 \rangle} x[n]e^{-jk\omega_0n}$ | $x[n] = \sum_{k=\langle N_0 \rangle} a_k e^{jk\omega_0n}$ |
| 連續時間傅立葉轉換(CTFT)| $X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t}\,dt$ | $x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega$ |
| 離散時間傅立葉轉換(DTFT)| $X(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]e^{-j\omega n}$ | $x[n]=\frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X(\omega)e^{j\omega n} \,d\omega$ |

### 測度
同樣寫給對數學有一咪咪基礎的讀者。撇除掉係數的位置和大小需要去記，我們可以把複雜的8個公式完全簡化成4種測度。至於使用哪一種測度，則看轉換的原群是哪一種。

| 群 | 測度 | 公式 |
| :-------- | :-------- | :-------- |
| 模n循環群$\mathbb{Z}_n$ | 計數測度 | $\int fd\mu=\sum_{k=0}^{n-1} f(k)$ |
| 整數群$\mathbb{Z}$ | 計數測度 | $\int fd\mu=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(k)$ |
| 圓群$\mathbb{T}$ | 勒貝格測度 |$\int fd\mu=\int_0^1 f(e^{2\pi ix})\,dx$ |
| 實數$\mathbb{R}$ | 勒貝格測度 | $\int fd\mu=\int_{\mathbb{R}} f(x)\,dx$ |

## 別名
因為各種原因，大家寫的文章所用的詞都不一樣。我用的命名是最對稱的方式，四種變換都用一樣的名字。這邊將四種變換的別名全部寫出來，以便各位讀其他書時可以對照。
| 縮寫 | 全名 |
| :--------: | :-------- |
| CTFS| Continuous-Time Fourier Series |
| DTFS| Discrete-Time Fourier Series |
| CTFT| Continuous-Time Fourier Transform |
| DTFT| Discrete-Time Fourier Transform |

| 名稱 | 別名 |
| :--------: | :-------- |
| 連續時間傅立葉級數(CTFS)| 傅立葉級數(FS)、連續傅立葉級數(CFS)|
| 離散時間傅立葉級數(DTFS)| 離散傅立葉級數(DFS)、\*離散傅立葉轉換(DFT) |
| 連續時間傅立葉轉換(CTFT)| 傅立葉轉換(FT)、連續傅立葉轉換(CFT) |
| 離散時間傅立葉轉換(DTFT)| - |

神奇的是離散傅立葉級數跟離散傅立葉轉換說的常常是同一個東西。另外，關於DFT和DTFS本質上的差別在哪，參見[5.5 DFT](/@seanyih/signal-5-5)。

## *一統四種變換

:::warning
警告: 你即將離開工程領域。我努力寫的簡單清楚且對工學院友善，但以下部分可能需要一些數學分析的知識。
:::

既然我們看出這四種變換在公式的結構上相似，只不過是替換掉了作用的群以及使用的測度，那有沒有辦法把四種傅立葉轉換統一成一個表示法呢? 有的兄弟，有的。有一位數學家叫作列夫·龐特里亞金(Lev Pontryagin)，他開創的理論不僅將傅立葉變換全部包了，還可以拓展到其他地方。

首先，我們看一些定義:
:::info
**定義** 緊緻性(Compactness)

一個集合X是緊的，如果每個開的覆蓋都有有限子覆蓋。
:::
**開覆蓋**(open cover)是指由一堆開集合組成的集合族$C$，並且他們的聯集包含了整個集合X，也就是$X\subseteq \bigcup_{x\in C}\,x$。所謂的**有限子覆蓋**(finite subcover)則是顧名思義，從這個集合族$C$裡面挑出有限個元素組成另一個集合$F$，他們仍然要覆蓋這個集合X，也就是$X\subseteq \bigcup_{x\in F}\,x,\,F\subseteq C, |F|<\infty$。
直觀的想，如果我們可以僅用有限個集合就蓋住整個集合X，那X一定是結構集中的，而不是非常分散的。這就是緊緻性的定義。

:::info
**定義** 局部緊緻(locally compact)

如果X的每個點的有緊的鄰域(neighborhood)，則稱X是局部緊的。
:::
簡單的講，鄰域就是包含那個點的邊邊的一個開集合。舉實數線的例子來說，$a$的鄰域是$(a-\delta, a+\delta)$。一個點可以有很多個(無限多個)鄰域，可以很大也可以只包含邊邊一點點。但凡每個點裡面都至少有一個鄰域是緊緻的，我們就認定它是局部緊的。注意X是局部緊緻跟X是緊緻的是不一樣的。

龐特里亞金的理論將目光放在這類特別的群上面: **局部緊阿貝爾群**(locally compact Abelian group, LCA)。他說:
:::danger
每個LCA群，記為$G$，都有一個**對偶群(dual group)**$\widehat{G}$，由函數$\chi$組成。這些函數滿足:
1. 將$G$映射到單位圓$S^1=\{z\in\mathbb{C},\,|z|=1\}$上面。也就是$|\chi(x)|=1$。
2. $\chi(x+y)=\chi(x)\chi(y)$

這些函數$\chi$被稱為「角色」(characters)。
:::
這個對偶群$\widehat{G}$又被叫做$G$的龐特里亞金對偶(Pontryagin dual)。

熟悉線性代數的讀者應該會發現，上面這個定義裡面，只要將LCA群換成向量空間，第二個要求換成$f(x+y)=f(x)+f(y)$，整個定義會立刻變成向量空間$V$的對偶空間(dual space)$V^*$。我們知道$V^{**}\cong V$，同樣的，我們也有:
:::danger
**龐特里亞金對偶定理** $\widehat{\widehat{G}}\cong G$
:::

如果我們一步一步照著定義去解，例如說:
> [!Note] **求整數群的對偶**
> 我們要求$\mathbb{Z}\to S^1$，且$\chi(x+y)=\chi(x)\chi(y)$。首先第二個條件讓我們想到指數率，所以$\chi(n)=z^n$是一個可能的解。另外要求$|z^n|=1$，因此$z=e^{j\omega}$。
>
> 我們得到了$\widehat{\mathbb{Z}}=\{e^{j\omega n},\,n\in\mathbb{Z}\}$，現在觀察一下，因為$n$是整數，所以$e^{j\omega n}=e^{j(\omega+2\pi) n}$。不難看出，這組函數和圓群是同構的。所以$\widehat{\mathbb{Z}}\cong\mathbb{T}$。

我們可以得到四種傅立葉變換的結果:
- $\widehat{\mathbb{Z}_n} \cong \mathbb{Z}_n$
- $\widehat{\mathbb{Z}} \cong \mathbb{T}$
- $\widehat{\mathbb{R}} \cong \mathbb{R}$

配上龐特里亞金對偶定理可以看出反向也是成立的。

最後看看傅立葉轉換怎麼用龐特里亞金對偶的語言表示:
:::danger
令$f\in L^1(G)$，其傅立葉轉換$\hat{f}\in\widehat{G}$是:
$$
\hat{f}(\chi)=\int_{G}f(x)\overline{\chi(x)}\,d\mu(x)
$$其中$\mu$是$G$的哈爾測度(Haar measure)。

對於所有$G$上的$\mu$，$\widehat{G}$上都有唯一的$\nu$，使得$f\in L^1(G),\,\hat{f}\in L^1(\widehat{G})$時，反轉換
$$
f(x)=\int_{\widehat{G}} \hat{f}(\chi)\chi(x)\,d\nu(x)
$$在$\mu$上幾乎處處收斂。
:::
我先不討論測度是什麼、哈爾測度是什麼這個問題，否則要講不完了。總之，關於我們常用的幾個群，其哈爾測度就是上面那張表列的測度。另外，就算你看到這已經什麼都讀不懂了，希望你有看出$\chi$就是我們用的那些各種複指數，而這兩個公式分別對應分析公式和合成公式。

以上就是將傅立葉轉換從四個群拓展到所有LCA群的理論了。雖然花了億點點多篇幅在講這些跟工程無關的東西，但我沒打算繼續推導下去。最後講一下為什麼我們需要這樣搞一堆東西把整個傅立葉轉換再抽象化一層:
1. 除了提到的4個群以外，還有很多LCA群的例子。比如說$\mathbb{R}^2$乃至$\mathbb{R}^n$都是LCA群。所以我們可以做多維度的CTFT，像是這個噁心的式子:
$$
X(\vec{\omega})=\int_{\mathbb{R}^n} x(\vec{t})e^{-j\vec{\omega}\cdot\vec{t}}\,d\vec{t}
$$是合法的。
2. 我們可以把已知的性質全部以這個語言重新改寫，很多重要定理包括卷積定理、普朗歇爾定理等等，都可以一般性的證明在LCA群上面。
3. 我們講過很多「為何要用$\{e^{j\omega t}\}$作為正交基底展開」的問題，這是將群上的函數視為向量空間出發的觀點。在這裡，一個新的觀點是「$\{e^{j\omega t}\}$是滿足條件的$\chi$函數」。透過定義給出的條件，它作為展開的基底就沒有疑問了。

{%hackmd @seanyih/signal-main %}