# 5.4 傅立葉轉換的性質

FT跟FS本身具有很大的相似性，我們會在第6章探討它們之間的聯繫。因此，在這裡你會發現，FT的性質跟在[4.5](/@seanyih/signal-4-5)學到的FS大抵相同，不過離散的係數現在變成連續的頻譜。而我也從那裡複製貼上不少內容過來。

對於在4.5證明過而類似的性質，這邊就不再證明一次。
## 線性
如果$x_a(t) \leftrightarrow X_a(\omega)$，$x_b(t) \leftrightarrow X_b(\omega)$，那麼對任意常數$c_1,c_2$，有$c_1x_a(t)+c_2x_b(t) \leftrightarrow c_1X_a(\omega)+c_2X_b(\omega)$。

換句話說，傅立葉轉換是**線性**的。這點不難證明，因為分析公式是個積分/求和式，而積分/求和本身就是線性的。

## 平移
### 時域平移
$$
x(t-t_0) \leftrightarrow e^{-j\omega t_0}X(\omega)
$$
### 頻域平移
$$
X(\omega-\omega_0) \leftrightarrow e^{j\omega_0t}x(t)
$$

在FT的範疇，**時域-頻域對偶**的性質更明顯了。

## 共軛&反轉
### 時域共軛=頻域共軛反轉
$$
x^{*}(t) \leftrightarrow X^*(-\omega)
$$

### 時域反轉=頻域反轉
$$
x(-t) \leftrightarrow X(-\omega)
$$

### 時域共軛反轉=頻域共軛
$$
x^{*}(-t) \leftrightarrow X^*(\omega)
$$

## 實數時域信號的性質
1. $x(t)$是實數的: $X(\omega)=X^*(-\omega)$ (可從共軛-反轉的性質得到)
2. $x(t)$是偶函數: $X(\omega)$是實數且是偶函數
3. $x(t)$是奇函數: $X(\omega)$是純虛數且是奇函數
4. 取$x(t)$的偶函數部分: 頻域取$Re(X(\omega))$
5. 取$x(t)$的奇函數部分: 頻域取$j\cdot Im(X(\omega))$

## 時域(頻域)伸縮
記得在[2.1](@seanyih/signal-2-1)談過，DT信號在做伸縮的時候，情況會和CT有差異。因此在這邊需要分開討論。
### CT
對CT**FS**來說，時域伸縮改變基頻，對於係數部分不變。然而，對於CT**FT**，已經沒有基頻這個概念了，因此時域伸縮的頻率改變會直接影響整個頻譜。公式如下:
$$
x(\alpha t) \leftrightarrow \frac{1}{|\alpha|}X(\frac{\omega}{\alpha})
$$

> [!Note] **證明**
> 先寫下分析公式:
> $$
> \int_{-\infty}^{\infty} x(\alpha t)e^{-j\omega t}\,dt
> $$
> 利用變數變換，$\tau=\alpha t$，$d\tau=\alpha\,dt$。我們先假設$\alpha>0$，否則積分上下界需要對調。
> $$
> =\frac{1}{\alpha}\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)e^{-j\frac{\omega}{\alpha} \tau}\,d\tau = \frac{1}{\alpha}X(\frac{\omega}{a})
> $$
> 然後考慮$\alpha<0$，因為上下界對調，所以答案變成:
> $$
> = -\frac{1}{\alpha}X(\frac{\omega}{\alpha})
> $$
> 兩種狀況可以合併變成以絕對值表示。

另外，因為頻域是連續的，我們也可以伸縮頻域。不過從上面的公式來看，頻域伸縮等價於時域伸縮，因此我們就不另外討論。為了計算直觀，有時也會寫成完全等價的另一個公式:
$$
|\alpha|x(\frac{t}{\alpha}) \leftrightarrow X(\alpha\omega)
$$

### DT
跟DTFS一樣，我們僅考慮拉伸的結果，不考慮收縮。那與採樣有關。所以在這裡我們考慮:
$$
x_{(\alpha)}[n]= \left\{
\begin{matrix}
x[\frac{n}{\alpha}] &,\, \frac{n}{\alpha} \in \mathbb{Z} \\
0 &,\, o.w.
\end{matrix}
\right.
$$其中$\alpha$是正整數。

信號拉伸的結果是:
$$
x_{(\alpha)}[n] \leftrightarrow X(\alpha\omega)
$$

> [!Note] **證明**
> 先寫下分析公式:
> $$
> \sum_{n=-\infty}^{\infty} x_{(\alpha)}[n]e^{-j\omega n}
> $$
> 然後利用變數變換: $n=\alpha k$。因為原本的求和裡面，僅有$\alpha k,\,k\in\mathbb{Z}$時，分子分母整除，函數才有值，其餘為0，因此:
> $$
> = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[k]e^{-j\omega \alpha k}=X(\alpha\omega)
> $$

## 「時域」的微分/差分
這部分和FS基本一樣，式子都可從對合成公式兩邊微分、積分等等直接得到。
對於CT:
$$
\frac{d}{dt}x(t) \leftrightarrow j\omega X(\omega)
$$
對於DT:
$$
x[n]-x[n-1] \leftrightarrow (1-e^{-j\omega})X(\omega)
$$

## 「頻域」的微分
在FS時，我們的頻域都是離散的係數，沒辦法操作。但現在無論是CT或DT，其頻域都是連續的函數(這裡連續指的是「定義域是實數」，而不是微積分學到的「極限=函數值」。)，所以我們可以對頻域做微分。

對於CT:
$$
\frac{d}{d\omega}X(\omega) \leftrightarrow -jt\,x(t)
$$
對於DT:
$$
\frac{d}{d\omega}X(\omega) \leftrightarrow -jn\,x[n]
$$
同樣的，這些可以從對定義微分而得。

## 乘積-卷積
**卷積定理**在傅立葉轉換同樣適用，記住它的重點是**一個域的乘積等於在另一個域的卷積**。在解釋怎麼對時域積分和求和之前，我們先證明這個。
### 時域乘積=頻域卷積

:::danger
令$x\leftrightarrow X(\omega)$，$y\leftrightarrow Y(\omega)$:
**CT**
$$
x(t)\,y(t)\leftrightarrow \frac{1}{2\pi} X(\omega)*Y(\omega)
$$
**DT**
$$
x[n]\,y[n]\leftrightarrow \frac{1}{2\pi} \int_{2\pi} X(\omega)Y(\theta-\omega) d\theta
$$
:::
### 頻域乘積=時域卷積
:::danger
**CT**
$$
x(t)*y(t)\leftrightarrow X(\omega)Y(\omega)
$$**DT**$$
x[n]*y[n]\leftrightarrow X(\omega)Y(\omega)
$$
:::

### 證明
這邊用CT的去證明，但DT的狀況大致一樣。這裡需要更多微積分的技巧，所以如果你忘記了也沒關係，**跳過證明就好**。

> [!Note] **證明** 乘積的頻域是卷積
> 令$x(t)\leftrightarrow X(\omega)$，$y(t)\leftrightarrow Y(\omega)$。然後寫下它們的合成公式的乘積:
> $$
> x(t)y(t)=\frac{1}{4\pi^2}(\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega)(\int_{-\infty}^{\infty} Y(\omega')e^{j\omega' t}\,d\omega')
> $$$$
> =\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)Y(\omega')e^{j(\omega+\omega') t} \,d\omega\,d\omega'
> $$這會是一個二重積分。因為第一式中，$\omega$和$\omega'$是獨立的，因此可以直接合併成二式。
>
> 現在這個二重積分的範圍是整個平面。對於二維平面的變數變換，我們需要從距離我們遙遠的大一下微積分課本搬出Jacobian。幫各位複習一下，對於變換:
> $$
> \left.\begin{matrix}
> x = g(u,v) \\
> y = h(u,v)
> \end{matrix}\right.
> $$定義其Jacobian:$$
> \frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}=\left| \begin{matrix}
> \frac{\partial x}{\partial u} & \frac{\partial x}{\partial v}\\
> \frac{\partial y}{\partial u} & \frac{\partial y}{\partial v}
> \end{matrix}\right|
> $$
> 然後有:
> $$
> \iint_{R} f(x,y)\,dxdy=\iint_{S} f(g(u,v),h(u,v)) \,|\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}|\,dudv
> $$
> 複習完畢，現在回到最上面的式子，我們挑選:
> $$
> \left.\begin{matrix}
> \omega =& \omega\\
> \omega' =& \theta-\omega
> \end{matrix}\right.
> $$至於為什麼這麼挑? 是為了讓$\omega+\omega'=\theta$。它的Jacobian會是:
> $$|
> \left| \begin{matrix}
> 1 & 0\\
> -1 & 1
> \end{matrix}\right||=1
> $$這讓我們得以保持積分原本的樣貌，不會多出任何奇怪的變數。而原本的積分式會變成:$$
> =\frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)Y(\theta-\omega)e^{j\theta t} \,d\omega\,d\theta
> $$
> 我們重新排一下:
> $$
> \frac{1}{4\pi^2}\int_{-\infty}^{\infty}(\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)Y(\theta-\omega) \,d\omega )e^{j\theta t} \,d\theta
> $$
> 不難看出現在內層是$X(\omega)*Y(\omega)$，而外層是一個合成公式 -- 不過係數不對。所以調整一下就有了:
> $$
> x(t)y(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)Y(\theta-\omega) \,d\omega )e^{j\theta t} \,d\theta
> $$$$
> =\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}(\frac{1}{2\pi}X(\omega)*Y(\omega) ) e^{j\theta t} \,d\theta
> $$

> [!Note] **證明** 卷積的頻域是乘積
> 直接對這個卷積式套用分析公式:
> $$
> \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)y(t-\tau)\,d\tau\, e^{-j\omega t}\,dt
> $$
> 下一步是套用Fubini Theorem，將多重積分式改寫。我們在這邊假設$x*y$是有意義的，也就是可積、可測函數，否則這個積分式會因為不能簡化而卡住。
> $$
> =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)y(t-\tau)e^{-j\omega t}\,d\tau\,dt
> $$
> 接著套用一個變數變換: 令$u=t-\tau$，$du=dt$。這步可以將$y$的自變數化為$u$而非煩人的$t-\tau$。
> $$
> =\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)y(u)e^{-j\omega (\tau+u)}\,d\tau\,du
> $$
> 這時會發現$t,u$之間完全沒有相關，我們可以拆成兩個獨立的積分相乘。
> $$
> =(\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)e^{-j\omega\tau}\,d\tau)(\int_{-\infty}^{\infty} y(u)e^{-j\omega u}\,du)
> $$
> 這就是兩個CTFT係數的分析公式了!
> $$
> =X(\omega)Y(\omega)
> $$

## 「時域」的積分/求和
在FT裡面，積分的公式會多出一項。在FS裡面，因為我們要求信號在一個周期內的積分必須為0，積分後的結果才有意義。而FT裡面則沒有週期的問題，因此式子變得更一般化。

### CT
$$
\int_{-\infty}^{t} x(\tau)\,d\tau \leftrightarrow \frac{1}{j\omega}X(\omega)+\pi X(0)\delta(\omega)
$$
很顯然，後面多了一項奇怪的$\pi X(0)\delta(\omega)$。另外，在這個公式裡面，如果遇到$\omega=0$，第一項需要被忽略。我們現在來說明這個是怎麼來的。我先提供一種比較直觀但不嚴謹的說明，再用數學證明我們的猜測。

> [!Important] **直觀的說明**
我們知道:
$$
\text{If }F'(t)=f(t),\,\int f(t)dt=F(t)+C
$$這代表，如果我們隨便取一個$x(t)$的反導函數，它的積分常數是可選的。而$C \leftrightarrow 2\pi C\delta(\omega)$，且我們知道微分的公式是乘以$j\omega$。因此$$
\int x(\tau)\,d\tau \leftrightarrow \frac{1}{j\omega}X(\omega)+ 2\pi C\delta(\omega)
$$第一項來自於取積分，第二項來自於積分常數的選取，看起來就非常合理了。
>
> 而我們現在並不是要取任意的反導函數，而是指定了積分上下界，因此相當於是限制了這個C是某個固定的值。至於C的值是多少? 答案是:
> $$
> C=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\,dt=\frac{1}{2}X(0)
> $$選擇這個常數的原因是為了讓
> $$
> \int_{-\infty}^{\infty} (F(t)-C)= \lim_{R\to\infty}\int_{-R}^{R} (F(t)-C)\,dt=0
> $$

> [!Note] **證明1**
> 在這個證明裡面，我們考慮一個unit step function。並且將這個函數拆分成:
> $$
> u(t)=\frac{1}{2}(1+sgn(t))
> $$其中$$
> sgn(t)=2u(t)-1=\left\{
\begin{matrix}
1 &,\, t>0 \\
-1&,\, t<0
\end{matrix}
\right.
> $$
>
> 我們知道$1 \leftrightarrow 2\pi\delta(\omega)$，這點之前[5.1](/@seanyih/signal-5-1)推過了就不再贅述。把目光放在sgn函數上。先利用sgn和unit step的關係，推導出:
> $$
> \frac{d}{dt}sgn(t)=2\delta(t)
> $$
> 而在頻域上:
> $$
> \frac{d}{dt}sgn(t) \leftrightarrow j\omega \cdot SGN(\omega)
> $$且$$
> \frac{d}{dt}sgn(t)=2\delta(t) \leftrightarrow 2
> $$於是我們有了:$$
> SGN(\omega)=\frac{2}{j\omega}
> $$
> 整合前面的推導:
> $$
> u(t)\leftrightarrow \frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega)
> $$
> 接著利用[3.2](/@seanyih/signal-3-2)提到過的一個性質，並配上卷積定理:
> $$
> \int_{-\infty}^{t} x(\tau)\,d\tau =x*u \leftrightarrow X(\omega)U(\omega)=(\frac{1}{j\omega}+\pi\delta(\omega))X(\omega)
> $$最終的一步是乘開並利用delta函數的sifting property簡化式子:
> $$
> =\frac{1}{j\omega}X(\omega)+\pi X(0)\delta(\omega)
> $$

最後，我們可以用微分的公式驗算一下:
$$
j\omega(\frac{1}{j\omega}X(\omega)+\pi X(0)\delta(\omega))=X(\omega)+j\pi\omega X(0)\delta(\omega)
$$$$
=X(\omega)+j\pi0 X(0)\delta(\omega)=X(\omega)
$$這符合
$$
\frac{d}{dt}\int_{-\infty}^{t} x(\tau)\,d\tau=x(t)
$$所以再次證明公式正確。

這麼部分其實還有其他證明，可以用複變函數的積分巧妙解決，但內容涉及柯西主值、Sokhotski–Plemelj formula的計算。將放在最後補充。

### DT
$$
\sum_{r=-\infty}^{n} x[r] \leftrightarrow \frac{1}{1-e^{-j\omega}}X(\omega)+\pi X(0)\sum_{k=\infty}^{\infty}\delta[\omega-2\pi k]
$$
基本上形式和CT相同，證明方式也類似，我就不再證明一次了。至於為何$\delta(\omega)$變成了一連串的$\sum_{k=\infty}^{\infty}\delta[\omega-2\pi k]$，只是為了滿足頻域的週期是$2\pi$。如果我們只考慮一個週期裡面的頻域，那麼也是只有一個delta。

### *複變的證明
這個證明需要一些複變函數的背景。在證明的時候，會省略一些條件，我們直接假設他們成立。(例如要求函數是$L^1(\mathbb{R})$等等。) 提醒一下這部分對工學院沒什麼幫助，單純提供一點嚴謹性給有興趣的讀者。
> [!Note] **證明2**
> 首先定義
> $$
> y(t)=\int_{-\infty}^{t} x(\tau)\,d\tau
> $$然後寫下分析公式:$$
> Y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{t} x(\tau)\,d\tau \,e^{-j\omega t}\,dt
> $$再用Fubini定理調整積分次序和積分範圍:$$
> Y(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\int_{\tau}^{\infty} \,e^{-j\omega t}\,dt\,d\tau
> $$
> 現在看內層積分。對於$\omega\neq0$，積分是發散的。為了讓它有定義，我們引入一個衰減因子$e^{-\epsilon t}, (\epsilon>0)$，並取$\epsilon\to0^+$，藉此將定義延拓到$\omega=0$。定義:$$
> Y_\epsilon(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau)\int_{\tau}^{\infty} \,e^{-j\omega t}e^{-\epsilon t}\,dt\,d\tau
> $$$$
=\frac{1}{j\omega+\epsilon}\int_{-\infty}^{\infty} x(\tau) \,e^{-j\omega \tau}e^{-\epsilon \tau}\,d\tau
> $$
> 對於積分項，我們看出$\epsilon\to0^+$時，答案會是$X(\omega)$，因此我們不妨重新定義:$$
> Y_\epsilon(\omega)=\frac{1}{j\omega+\epsilon}X(\omega)
> $$以簡化計算。
>
> 現在我們要取極限，而我們稍微變化一下:$$
\frac{1}{j\omega+\epsilon}=-j \frac{1}{\omega-j\epsilon}
> $$然後利用:
> :::danger
> **Sokhotski–Plemelj formula**
> $$
> \lim_{\epsilon\to0^+} \frac{1}{x\pm i\epsilon}=\mp i\pi\delta(x)+P.V. \frac{1}{x}
> $$
> :::
> 於是$$
Y(\omega)=\lim_{\epsilon\to0^+}Y_\epsilon(\omega)=-j(j\pi\delta(\omega)+P.V. \frac{1}{\omega})X(\omega)
> $$$$
> =P.V.\frac{1}{j\omega}X(\omega)+\pi X(0)\delta(\omega)
> $$
至於多出來的柯西主值(P.V.)，我們可以想成在$\omega\neq0$時取第一項，但在$\omega=0$時僅取第二項做計算。這也是為什麼工程類的書上通常不寫P.V.在公式裡的原因。
>
> 最後再補充一點: 如果你有讀[5.2](/@seanyih/signal-5-2)的話，柯西主值其實可以視為一個**分布**，定義為$$
> \langle P.V.\frac{1}{x}, \varphi\rangle=\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{\varphi(x)}{x}\,dx+\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{\varphi(x)}{x}\,dx
> $$所以$Y(\omega)$也是一個分布:$$
> \langle Y, \varphi\rangle =
\lim_{\epsilon\to0^+}\int_{-\infty}^{-\epsilon}\frac{X(\omega)\varphi(\omega)}{j\omega}\,d\omega+\int_{\epsilon}^{\infty}\frac{X(\omega)\varphi(\omega)}{j\omega}\,d\omega + \pi X(0)\varphi(0)
> $$這就是我們說的「在$\omega\neq0$時取第一項，但在$\omega=0$時僅取第二項」的真身。

## 普朗歇爾定理 (Plancherel Theorem)
:::danger
**普朗歇爾定理** 令$x(t)\leftrightarrow X(\omega)$，有:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2\,dt=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} |X(\omega)|^2\,d\omega
$$
對於DT的$x[n]\leftrightarrow X(\omega)$則有:
$$
\sum_{n=\infty}^{\infty} |x[n]|^2=\frac{1}{2\pi}\int_{2\pi} |X(\omega)|^2\,d\omega
$$
:::

普朗歇爾定理是**帕西瓦爾定理的推廣**，有時又被稱作普朗歇爾-帕西瓦爾恆等式，或是乾脆直接叫做帕西瓦爾定理。反正它們本質上的意義是一樣的: 它說信號不論在時域或在頻域的表示下，信號能量都一樣。

我們也知道，普朗歇爾定理其實就是計算向量長度的公式。對於兩個不同的正交基來說，不論使用哪一個，計算出來的向量長度都應該相同。

{%hackmd @seanyih/signal-main %}