# *5.2 CTFT的嚴謹推導
:::warning
**TL;DR** 我們推導出來的CTFT完全合法、可用。用那些奇怪方式推導出來的頻域表示也是完全正確的。
以下專門留給不死心的人看的。會涉及很多數學，而且對後續的應用沒什麼幫助。如果想跳過也沒關係。
:::
以下，我們會解決一些留下的問題: 包括$\{e^{j\omega t}\}$到底是不是正交的? $\{e^{j\omega t}\}$到底有沒有資格去生成$L^2(\mathbb{R})$? 我們怎麼讓Hilbert Space以外的函數(e.g. 常數1)的CTFT有意義?

因為作者我本人也不是理學院出身的，雖然標題給的是"嚴謹"推導，但我自認是不會像數學系的書那樣從頭到尾推一堆東西，畢竟那可能需要整本書來講，而且我也沒把握我會講的好。**如果是數學系的學生在看，就先說個抱歉，這應該不是你要找的東西。** 我希望用比較簡單的方式介紹這些主題，提供足夠的定義、定理來支撐整個理論。這樣就夠了。
## 分布(distribution)
### 定義
我們首先定義一種函數，它跟一般的函數不同，它的值是沒有意義的。它的意義在於它怎麼 **「作用」在測試函數(test functions)上**。

以下我們正式定義:
:::info
**定義** 給定一些測試函數$\varphi(t)$，它們共同構成一個函數空間$D(\mathbb{R})$。對於任何一個函數$f(t)$，它可以透過定義:
$$
\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\varphi(t)\,dt
$$
來將一個函數映射到一個實數值，我們稱這個映射是函數$f(t)$對應的**分布**。
:::
為各位補充一點名詞:
1. 將集合映射到集合(通常是數集到數集)的稱為**函數(function)**。
2. 將函數空間映射到函數空間的通常稱為**算子(operators)**。如果是映射到自身的算子，就稱為**變換(transformation)**。
3. 將函數空間映射到實數集的稱為**泛函(functional)**。

所以我們也可以說: 「分布」就是一個從$D(\mathbb{R}) \to\mathbb{R}$ 的(線性)泛函。

我們定義以下符號:
:::info
**定義** 一個函數$f$對應的分布$T_f$，作用在一個測試函數$\varphi$上，記為:
$$
\langle T_f,\varphi \rangle=\int_{-\infty}^{\infty}f(t)\varphi(t)\,dt
$$
:::
這個符號跟我們在內積上用的是一樣的。他們的意義不同，但是形式上長得很像。

### 舉例
如果你有機率論的知識，應該知道現代機率論中，我們會用到**機率密度函數(PDF)** 來處理連續隨機變數。而我們會說這是一個機率**分布**。

如果我們改變一些定義，將積分上下界改成$[a,b]$ (這完全合法，因為它仍然是映射到一個實數值。)，並且定義$\varphi(x)=1$，我們就有了:
$$
\langle T_{fX},\varphi \rangle=\int_{a}^{b}f_X(t)\varphi(t)\,dt
=P[a<X<b]
$$
我們知道，探討PDF在某一點的數值是沒有意義的，僅有當它作用在函數上的時候，產出的數值才有意義。

而我們可以發現，如果要求期望值的話，以分佈的觀點:
$$
E[g(X)]=\int_{-\infty}^{\infty}f_X(t)g(t)\,dt
=\langle T_{fX},g \rangle
$$
實際上就是將分布作用在我們想要的函數上。或是說，機率分布會將測試函數(e.g. $x$)映射到一個實數值(e.g. $E[X]$)上面。

### 建構傅立葉轉換
我們現在可以重新用分布的語言，來建構傅立葉轉換。首先定義一類有良好性質的函數做為測試函數:
:::info
**定義** 史瓦茲空間 (Schwartz Space) $S(\mathbb{R})$ 由滿足:
1. 無限可微
2. 比任何多項式還快衰減。更正式的寫成:
$$
\sup_{t\in\mathbb{R}}|t^m\varphi^{(n)}(t)|<\infty,\,\text{where } m,n\in\mathbb{R}
$$

的函數組成。
:::
這類函數不難證明，一定是可以被傅立葉轉換的。

然後我們定義:
:::info
**定義** 溫和分布(tempered distribution) 是將史瓦茲空間中的測試函數映射到實數域(即 $S(\mathbb{R}) \to\mathbb{R}$)的泛函(當然，在這裡積分需要有限，否則會沒有定義。)

**定義** 所有溫和分布組成的集合(空間)，記為$S'(\mathbb{R})$。
:::
如果比較熟悉線性代數的讀者，我們可以更簡單的表述以上定義: 溫和分布空間$S'(\mathbb{R})$是史瓦茲空間$S(\mathbb{R})$的**對偶空間**(dual space)。

我們在這裡借用2個定理，但不證明:
:::danger
**定理1** FT和iFT在$S(\mathbb{R})$上面雙射且保證存在。
**定理2** $L^1(\mathbb{R})$、$L^2(\mathbb{R})$對應的分布屬於$S'(\mathbb{R})$。
:::
定理1比較麻煩，想證的嚴謹有些困難。定理2基本上乾瞪眼就能看出來，乘了一個函數衰減更多，那一定是有限的。

引入分布有很多好處。簡而言之，我們可以把問題「甩鍋」，丟給測試函數去處理。例如，我們可以定義:
:::danger
**分布的微分**
$$
\langle T',\varphi \rangle = -\langle T,\varphi' \rangle
$$
**分布的傅立葉轉換**
$$
\langle \hat{T},\varphi \rangle = \langle T,\hat{\varphi} \rangle
$$
:::
這些定義都可以透過積分式去證明，這邊先跳過。我們聚焦在這麼做的優點: 因為$\varphi \in S(\mathbb{R})$，而這類函數非常的「好」，以至於可以做很多奇怪的操作。那麼我們就成功將原本沒有定義的函數的問題，轉給這類函數而解決了。

在這裡，前面提到的兩個定理分別告訴我們一些事。定理1告訴我們，我們對分布的傅立葉轉換定義有效。因為原先的定義式可以用在$S(\mathbb{R})$，所以$\hat{\varphi}$是有良好定義的，不會陷入循環論證。而定理2告訴我們，我們新引入的定義不會和原先的定義衝突。本就有傅立葉轉換的函數，不會因為換了定義而失效。

### 重新定義Delta函數
我們有了分布的定義，現在可以說Delta函數是一種分布，而不是一種函數。這也是你會在維基百科得到的正式定義:
> 狄拉克δ函數或簡稱δ函數（譯名德爾塔函數、得耳他函數）是在實數線上定義的**一個廣義函數或分布**。 -Wikipedia

這個分布是這樣的:
:::info
**Delta分布**
$$
\langle T_\delta,\varphi \rangle=\varphi(0)
$$
:::
這樣不僅不會有「在原點處無限高」這種問題，也很好解釋:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} \delta(t)\,dt=\langle T_\delta,1 \rangle=1
$$

### 結論
我們可以將分布視為一種函數的拓展，一種廣義函數。透過定義廣義函數上的運算(微分...)，我們可以把問題轉給一個性質好的一組函數。從而將傅立葉轉換拓展到$L^2(\mathbb{R})$以外。

最後我直接講$S'(\mathbb{R})$到底包含哪些函數:
1. 所有$L^p$函數。$1\leq p\leq \infty$。記得$L^p$是指$p$次方後勒貝格可積的函數。$L^\infty$則是取$\sup x(t)$之後可積的函數。這一點就包含了非常多函數。
2. 所有多項式。
3. 所有1和2的乘積。
4. 所有在$S'(\mathbb{R})$裡面函數的導數。注意這裡的遞迴定義使其包含它們的無窮導數。

## $\{e^{j\omega t}\}$的"分布意義上"正交性
好的，我們現在解決了不少問題。包括怎麼對非$L^2(\mathbb{R})$的函數做操作。這使得我們現在可以來看，$\{e^{j\omega t}\}$這組函數，是否是正交的? 這決定了傅立葉轉換中，使用它作為正交基是否合理。

我們現在考慮:
$$
\langle e^{j\omega t},e^{j\omega' t} \rangle = \int_{-\infty}^{\infty} e^{j\omega t}e^{-j\omega' t}\,dt
$$
(括號是內積)

很顯然，結果並不是一個函數。如果我們直接積分，它要嘛爆到無限大，要嘛週期循環不收斂。我們現在把它當成一個分布，並以$\omega'$作為自變數，令為$X(\omega')$。然後考慮:
$$
\langle T_X,\varphi \rangle=\int_{-\infty}^{\infty} X(\omega')\varphi(\omega')\,d\omega'
$$
(這邊的括號是分佈的作用)

下一步，我們需要把兩式合併。整個式子會變得非常的醜:
$$
\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega t}e^{-j\omega' t}\,dt\,\varphi(\omega')\,d\omega'
$$
但它卻有美麗的性質，我們可以交換積分次序。
$$
\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega t}\int_{-\infty}^{\infty}e^{-j\omega' t}\varphi(\omega')\,d\omega' \,dt\,
$$
看一下正中間，這式子不正是$\varphi(\omega')$的FT嗎? 更讚的是$\varphi\in S(\mathbb{R})$，所以定理保證其傅立葉轉換，和其轉換的逆轉換都有定義。特別注意這裡的轉換變數是$\omega'\to t$。於是:
$$
\int_{-\infty}^{\infty}e^{j\omega t}\Phi(t) \,dt\,
$$
這是少了$\frac{1}{2\pi}$的iFT，另外FT把Schwartz space映射到自身，也就是$\Phi\in S(\mathbb{R})$。所以:
$$
=2\pi\varphi(\omega)
$$

現在問題是，什麼東西滿足:
$$
\langle T_f,\varphi(\omega') \rangle = 2\pi\varphi(\omega)
$$
答案顯然是:
$$
2\pi\delta(\omega-\omega')
$$
這和我們在5.1導出的結果相同，不過這次它用的每一步都是嚴謹的。這個結果告訴我們，如果$\omega\neq\omega'$，則這個內積結果是0。反之，若相等，它有一個「大小」是$2\pi$。因此，這叫做在「分布意義上」正交。
## 分布收斂
我們現在來講FT的收斂性。很顯然，除了之前提到過的收斂性之外，還需要一些定義，否則沒辦法套到分布上面。

我們定義:
:::info
**定義** 給定一個溫和分布的序列$\{T_n\}$，和另一個溫和分布$T$。如果有:
$$
\langle T_n, \varphi\rangle \to\langle T, \varphi\rangle\,
,\forall \varphi\in S(\mathbb{R})
$$ 則說$\{T_n\}$收斂到$T$。
:::
記得$\langle T, \varphi\rangle$的結果是一個實數值，因此上面的定義就只是一個實數列收斂到一個實數，沒有太多花俏的定義。

而我們想知道的是: 一個分布的iFT(合成公式)，是否會給出原函數? 因此我們定義iFT分布序列:
$$
f_R(t)=\int_{-R}^{R} \hat{f}(\omega)e^{j\omega t}\,d\omega
$$
當$R\to\infty$時，如果對於每個測試函數$\varphi\in S(\mathbb{R})$有:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f_R(t)\varphi(t)\,dt \to
\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\varphi(t)\,dt
$$則我們稱$\hat{f}$的反傅立葉轉換**分布收斂(distributionally converge)**。

這個結果不要求一致收斂，需要0誤差。它也不像逐點收斂，要求每個點的值。它當然也不要求積分的結果，畢竟可能自身就不可積。它只關心一件事: **作用在測試函數上面的結果，與原函數是否一樣?**
這個要求是很弱的。因為$\hat{f}$的iFT可以跟$f$相差很多，但只要到測試函數面前行為一致，我們就不在乎。這就像如果猴子會敲打字機，那以「是否會打字」作為測試的條件下，猴子和人就是等價的。
不過要求這麼低也有它的原因。仔細想想，對於一個分布來說，它的所有運算都建立在與測試函數的互動上，包括但不限於我們提到的微分、傅立葉轉換等等。因此只要這個互動是不變的，我們就可以認定這個FT有效。

## 譜定理
解決了幾個重要問題，我們現在不僅可以對非$L^2(\mathbb{R})$操作，亦保證了$\{e^{j\omega t}\}$是正交的。我們看似可以用$\{e^{j\omega t}\}$來生成整個$L^2(\mathbb{R})$，但卻沒有解決: **如果$\{e^{j\omega t}\}$壓根不在函數空間裡，為何可以生成?** 這就好像我要生成一個平面$\mathbb{R}^2$，我們卻主張$(0,0,1)$是一個底。

### 自伴算子(self-adjoint operators)
最一般化的定義之下，自伴算子被定義為:
:::info
**自伴算子**
對於一個有內積$\langle\cdot,\cdot\rangle$的向量空間$V$，一個線性算子$A:V\to V$是自伴的，如果它滿足對所有$x,y\in V$:
$$
\langle Ax,y\rangle = \langle x,Ay\rangle
$$
:::
如果$V$是有限維度的，那麼這相當於$A$是一個厄米矩陣(Hermitian matrix)，即矩陣和其自身的共軛轉置相同:
:::info
$$
A=\overline{A^T}=A^{\dagger}
$$
:::
在傅立葉轉換的例子裡，我們將目光放在$S(\mathbb{R})$的話，內積的定義是:
$$
\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\overline{g(x)}\,dx
$$而我們可以驗證$-i\frac{d}{dt}$是一個自伴算子。首先:
$$
\langle Af,g\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} -if'(x)\overline{g(x)}\,dx
$$然後利用分部積分，以及因為$S(\mathbb{R})$的性質，函數在無窮遠點的函數值為0，所以:
$$
=0-\int_{-\infty}^{\infty} -if(x)\overline{g'(x)}\,dx
$$$$
=\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\overline{-ig'(x)}\,dx=\langle f,Ag\rangle
$$
### 譜定理
先看在有限維度下的譜定理。它的概念非常簡單: 一個矩陣$A$如果是Hermitian，那它就帶有一種對稱性。(矩陣翻轉完之後，和不翻轉的共軛相同。) 這種對稱性就會帶來好的性質:**可對角化**。
:::danger
**譜定理**
一個矩陣$A$如果是Hermitian，則:
1. 有一組標準正交基$V$，由$A$的特徵向量組成。
2. 每個特徵值都是實數。
:::
我們有興趣的點並不是有限維度下的狀況，而是它推廣之後的結果。在這裡我就忽略掉證明了，有興趣的請去讀reference。

推廣之後的譜定理，可以套到任何無界的自伴算子上面。但是，特徵值和特徵向量不再有原本的性質。現在特徵值是一個連續的數字 -- 譜。而我們同樣確保算子可以分解成特徵向量上的分量，但現在特徵函數**可能**落在Hilbert Space外面。不負責任地說，這些是將定理推廣後的結果。

### $\{e^{j\omega t}\}$是一組特徵向量
我們已經證明，$-i\frac{d}{dt}$是一個自伴算子。而顯然$e^{j\omega t}$會是它的特徵向量，因為$Ae^{j\omega t}=\omega e^{j\omega t}$。因此，這個算子的譜就是全體實數$\omega$，而$e^{j\omega t}$是其對應的特徵向量。

譜定理不僅說明了我們可以將$S(\mathbb{R})$上的向量分解到這組基底上，也說這組基底會正交。這和我們用分布求出的結果一致。至此我們就可以說明，CTFT對於$S(\mathbb{R})$即是轉換到一組正交基上，而後通過分布我們可以將其推廣到整個$S'(\mathbb{R})$上。

## Reference
用這麼短的篇幅，很難嚴謹的講完傅立葉轉換在分布上的定義。如果你對證明細節有興趣，歡迎讀這些非常工學院不友善的文章:
1. 分布、傅立葉轉換 [點我](https://personal.math.ubc.ca/~feldman/m321/distributions.pdf)
2. 有限維度的譜定理證明 [點我](https://people.math.harvard.edu/~knill/teaching/math22b2019/handouts/lecture17.pdf)

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