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title: 4.5 傅立葉級數的性質

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# 4.5 傅立葉級數的性質
## 線性
如果$x_a(t) \leftrightarrow a_k$，$x_b(t) \leftrightarrow b_k$，**而他們有相同的週期**，那麼對任意常數$c_1,c_2$，有$c_1x_a(t)+c_2x_b(t) \leftrightarrow c_1a_k+c_2b_k$。

換句話說，傅立葉級數是**線性**的。這點不難證明，因為分析公式是個積分/求和式，而積分/求和本身就是線性的。

## 平移
### 時域平移
$$
x(t-t_0) \leftrightarrow e^{-jk\omega_0t_0}a_k
$$
> [!Note] **證明**
> 利用變數變換，令$\tau=t-t_0$化簡即可。
> $$
> \int_{0}^{T_0} x(t-t_0)e^{-jk\omega_0t}\,dt = \int_{0}^{T_0} x(\tau)e^{-jk\omega_0(\tau+t_0)}\,d\tau= e^{-jk\omega_0t_0} \int_{0}^{T_0} x(\tau)e^{-jk\omega_0\tau}\,d\tau
> $$

### 頻域平移
$$
a_{k-M} \leftrightarrow e^{jM\omega_0t}x(t)
$$
證明方法和時域平移基本一樣。更重要的是，我們可以看出時域平移=頻域乘以一個係數，反之頻域平移=時域乘以一個係數，這就是**時域-頻域對偶**。我們會在第六章探討這個現象。

## 共軛&反轉
### 時域共軛=頻域共軛反轉
$$
x^{*}(t) \leftrightarrow a^*_{-k}
$$

> [!Note] **證明**
> $$
> \int_{0}^{T_0} \overline{x(t)}e^{-jk\omega_0t}\,dt = \overline{\int_{0}^{T_0} x(t) \overline {e^{-jk\omega_0t}}\,dt} 
> = \overline{\int_{0}^{T_0} x(t) e^{jk\omega_0t}\,dt}
> $$
### 時域反轉=頻域反轉
$$
x(-t)  \leftrightarrow a_{-k}
$$
> [!Note] **證明**
> 若信號$x(t)$的CTFS如下:
> $$
> x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t}
> $$
> 則有:
> $$
> x(-t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{-jk\omega_0 t}
> $$
> 整理一下，套用$m=-k$的變數變換，可以得到:
> $$
> x(-t) = \sum_{m=-\infty}^{\infty} a_{-m} e^{jm\omega_0 t}
> $$
> 我們就得到新信號在$m$倍頻的係數，會是原信號的$-m$倍頻係數。
### 時域共軛反轉=頻域共軛
$$
x^{*}(-t) \leftrightarrow a^*_{k}
$$

## 實數時域信號的性質
1. $x(t)$是實數的: $a_k=a^*_{-k}$ (可從共軛-反轉的性質得到)
2. $x(t)$是偶函數: $a_k$是實數且是偶函數($a_k=a_{-k}$)
3. $x(t)$是奇函數: $a_k$是純虛數且是奇函數($a_k=-a_{-k}$)
4. 取$x(t)$的偶函數部分: 頻域取$Re(a_k)$
5. 取$x(t)$的奇函數部分: 頻域取$j\cdot Im(a_k)$

## 時域伸縮
記得在[2.1](@seanyih/signal-2-1)談過，DT信號在做伸縮的時候，情況會和CT有差異。因此在這邊需要分開討論。
### CT
對CTFS來說，時域伸縮代表基頻$\omega_0$也會跟著改變。對於係數部分則**不變**。證明如下:
> [!Note] **證明**
> 若信號$x(t)$的CTFS如下:
> $$
> x(t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t}
> $$
> 則有:
> $$
> x(\alpha t) = \sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0(\alpha t)}
> $$
> 也就是頻率改變，但係數皆不變。

但注意這只在$\alpha>0$的條件下成立，否則右式的指數就不會維持CTFS合成公式的形式了。若$\alpha<0$，則要先套用時域反轉的公式。
### DT
我們先討論信號拉伸的結果。令$x[n]$拉伸$\alpha \in \mathbb{N}$倍的定義如下:
$$
x_{(\alpha)}[n]= \left\{
    \begin{matrix}
        x[\frac{n}{\alpha}] &,\, \frac{n}{\alpha} \in \mathbb{Z} \\
        0 &,\, o.w.
    \end{matrix}
\right.
$$
DT的話，係數會和原本的$a_k$有一個常數差:
$$
x_{(\alpha)}[n] \leftrightarrow \frac{1}{\alpha}a_k
$$
這裡證明的方法稍有不同，我們改成從分析公式出發。
> [!Note] **證明**
> 若信號$x[n]$的係數如下:
> $$
> a_k=\frac{1}{N_0} \sum_{n=\langle N_0 \rangle} x[n]e^{-jk\omega_0n}
> $$
> 則信號$x_{(\alpha)}[n]$的係數:
> $$
> \frac{1}{\alpha N_0} \sum_{n=\langle \alpha N_0 \rangle} x_{(\alpha)}[n]e^{-jk\frac{\omega_0}{\alpha}n}
> $$
> 但實際上，只有$n=\alpha m$，其中$m\in\mathbb{Z}$，的點有值，其他都是0。因此在求和的時候，可以直接排掉那些點。我們改用$\alpha m$代替掉其中的$n$，並且，連續$\alpha N_0$個整數$n$可以被改成連續$m$個整數$N_0$。變成:
> $$
> \frac{1}{\alpha N_0} \sum_{m=\langle N_0 \rangle} x[m]e^{-jk\omega_0m}
> $$
> 注意到其實$m$是個啞變數，也就是只充當一個臨時代號，完全可以用其他符號替代掉。於是這個式子的後半段，跟第一式是一樣的。只差在一個係數而已。所以得到:
> $$
> x_{(\alpha)}[n] \leftrightarrow \frac{1}{\alpha}a_k
> $$

至於信號壓縮，因為會有**信息丟失**的問題，例如:
$$
x[n]= \left\{
    \begin{matrix}
        1 &,\, n\mod2=1 \\
        0 &,\, n\mod2=0
    \end{matrix}
\right.
$$
如果我們壓縮2倍，只取偶數點，那這信號就沒了。因此，它的頻域操作更複雜，我們會留到第七章的採樣再來講。
## 微分/積分/差分/求和
對於CT來說的微分，就相當於對於DT的差分。這點雖然在微積分裡面沒有講過，但實際上，差分同樣也有公式、乘法定則，甚至差分方程式。

差分的相反是求和，求和即是離散版本的積分。同樣也有求和公式(這點高中就學過一些)，甚至有分部求和法(summation by parts)。但因為我們不太會用到這麼多數學，在這邊只是提及這些運算彼此是有相似性的。

詳細針對差分跟求和的介紹，可以參考維基百科的相關條目。
### 微分(CT)/差分(DT)
對於CT:
$$
\frac{d}{dt}x(t) \leftrightarrow jk\omega_0a_k
$$
對於DT:
$$
x[n]-x[n-1] \leftrightarrow (1-e^{-jk\omega_0})a_k
$$
### 積分(CT)/求和(DT)
對於CT:
$$
\int_{-\infty}^{t} x(\tau)\,d\tau \leftrightarrow \frac{1}{jk\omega_0}a_k
$$
對於DT:
$$
\sum_{r=-\infty}^{n} x[r] \leftrightarrow \frac{1}{1-e^{-jk\omega_0}}a_k
$$
這邊有一個小細節: 在一個週期裡面，信號的積分必須是0。否則從負無限大開始積分，會使結果非週期且直接發散。這樣的積分結果沒有意義。這點會在FT再次出現，且導致公式和FS的形式不一樣。

以上的式子都可從對合成公式兩邊微分、積分等等直接得到。
## 乘積-卷積
這是傅立葉級數最重要的定理之一，稱作**卷積定理**。如果用白話文來概括他的概念，就是**一個域的乘積等於在另一個域的卷積**。
### 時域乘積=頻域卷積

:::danger
令$x\leftrightarrow a_k$，$y\leftrightarrow b_k$:
**CT**
$$
x(t)\,y(t)\leftrightarrow\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_mb_{k-m}
$$
**DT** (假設$x,y$基本週期相同)
$$
x[n]\,y[n]\leftrightarrow\sum_{m=\langle N_0 \rangle} a_mb_{k-m}
$$
:::
### 頻域乘積=時域卷積
因為時域-頻域對偶，所以相反的也成立，不過有多一個常數。
:::danger
**CT**
$$
\int_{T_0} x(\tau)y(t-\tau)\,d\tau\leftrightarrow T_0a_kb_k
$$
**DT**
$$
\sum_{r=\langle N_0 \rangle} x[r]y[n-r] \leftrightarrow N_0a_kb_k
$$
:::
### 證明
這邊用CT的去證明，但DT的狀況大致一樣。
> [!Note] **證明** 乘積的頻域是卷積
> 令$x(t)\leftrightarrow a_k$，$y(t)\leftrightarrow b_k$。然後直接寫下它們的合成公式的乘積:
> $$
> x(t)y(t) = (\sum_{m=-\infty}^{\infty} a_m e^{jm\omega_0t})(\sum_{r=-\infty}^{\infty} b_r e^{jr\omega_0t})
> $$
> 因為要求$x(t)y(t)$的CTFS，我們可以令它的合成公式如下:
> $$
> \sum_{k=-\infty}^{\infty} c_k e^{jk\omega_0t}
> $$
> 到這裡為止，都只是寫下定義。注意$m,r,k$在這邊的選取完全沒有意義，就是單純的啞變數。
> 
> 透過觀察我們可以發現，如果在1式的兩個括號中隨機挑一項相乘，會有:
> $$
> (a_m e^{jm\omega_0t})(b_r e^{jr\omega_0t})=(a_mb_r)e^{j(m+r)\omega_0t}
> $$
> 可以看到，$a_mb_r$現在是$(m+r)$倍頻的係數了。但這還不是全部，因為可以有其他的組合，也會產出$(m+r)$倍頻的係數，比如$a_{m-1}b_{r+1}$等等。也就是說:
> $$
> c_k=\sum_{m+r=k}a_mb_r
> $$
> 改寫一下，去掉$r$這個變數，就有了:
> $$
> c_m=\sum_{m=-\infty}^{\infty}a_mb_{k-m}
> $$
> 右式剛好是一個卷積的形式。

> [!Note] **證明** 卷積的頻域是乘積
> 直接對這個卷積式套用分析公式:
> $$
> \frac{1}{T_0}\int_{T_0}\int_{T_0} x(\tau)y(t-\tau)\,d\tau\, e^{-jk\omega_0t}\,dt
> $$
> 下一步是套用Fubini Theorem，將多重積分式改寫。我們在這邊假設$x*y$是有意義的，也就是可積、可測函數，否則這個積分式會因為不能簡化而卡住。
> $$
> =\frac{1}{T_0}\int_{T_0}\int_{T_0} x(\tau)y(t-\tau)e^{-jk\omega_0t}\,d\tau\,dt
> $$
> 接著套用一個變數變換: 令$u=t-\tau$，$du=dt$。這步可以將$y$的自變數化為$u$而非煩人的$t-\tau$。因為積分是在任意的一個週期上，這個變換不用改變上下界。
> $$
>  =\frac{1}{T_0}\int_{T_0}\int_{T_0} x(\tau)y(u)e^{-jk\omega_0(\tau+u)}\,d\tau\,du
> $$
> 這時會發現$t,u$之間完全沒有相關，我們可以拆成兩個獨立的積分相乘。
> $$
>  =\frac{1}{T_0}(\int_{T_0}x(\tau)e^{-jk\omega_0\tau}\,d\tau)(\int_{T_0} y(u)e^{-jk\omega_0u}\,du)
> $$
> 整理一下，將常數補上，就會是兩個CTFS係數的分析公式了!
> $$
> =T_0(\frac{1}{T_0}\int_{T_0}x(\tau)e^{-jk\omega_0\tau}\,d\tau)(\frac{1}{T_0}\int_{T_0} y(u)e^{-jk\omega_0u}\,du)
> $$$$
> =T_0a_kb_k
> $$

這邊用了很多數學式去證明這件事。但是卷積-乘積其實可以更簡單地去理解，我們會在[6.3]探討這件事。

## 帕西瓦爾定理 (Parseval's Theorem)
:::danger
**帕西瓦爾定理** 令$x(t)\leftrightarrow a_k$，有:
$$
\frac{1}{T_0}\int_{T_0} |x(t)|^2\,dt=\sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k|^2
$$
對於DT信號$x[n]\leftrightarrow a_k$，則有:
$$
\frac{1}{N_0}\sum_{n=\langle N_0 \rangle}|x[n]|^2\,dt=\sum_{k=\langle N_0 \rangle} |a_k|^2
$$
:::
這個定理在說: 信號不論在時域的表示下，或在頻域的表示下，其信號能量都一樣。這點應該還蠻好理解的，畢竟時域、頻域都只是同一種信號的不同表述而已。

對於這個定理的證明有兩種方式。一是把合成公式直接倒進去能量表示式裡面，然後暴力展開，最後得到答案。第二種更直觀，更簡潔，也更符合我們對FS的向量空間表述。
> [!Note] **證1**
> $$
> \frac{1}{T_0}\int_{T_0} |x(t)|^2\,dt=\frac{1}{T_0}\int_{T_0} |\sum_{k=-\infty}^{\infty} a_k e^{jk\omega_0t}|^2\,dt
> $$$$
> =\frac{1}{T_0}\int_{T_0} \sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k e^{jk\omega_0t}|^2+\sum_{m\neq r}2Re(a_me^{jm\omega_0t}\overline{a_re^{jr\omega_0t}})\,dt
> $$$$
> =\frac{1}{T_0}\int_{T_0} \sum_{k=-\infty}^{\infty} |a_k |^2|e^{jk\omega_0t}|^2+\sum_{m\neq r}2Re(a_m\overline{a_r}e^{j(m-r)\omega_0t})\,dt
> $$$$
> =\frac{1}{T_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}\int_{T_0}  |a_k |^2|e^{jk\omega_0t}|^2\,dt+\sum_{m\neq r}\int_{T_0} 2Re(a_m\overline{a_r}e^{j(m-r)\omega_0t})\,dt
> $$
> 然後記住我們在[4.1](/@seanyih/signal-4-1)推導的時候，有導過這個結論:
> $$
> \int_{0}^{T_0} e^{jm\omega_0t}e^{-jn\omega_0t}\,dt= \left\{
> \begin{matrix}
> 0 &,m\neq n \\
> T_0 &,m=n
> \end{matrix}
> \right.
>$$
>所以上面那坨積分就是:
>$$
> =\frac{1}{T_0}\sum_{k=-\infty}^{\infty}  |a_k |^2|T_0 +\sum_{m\neq r}0
> $$$$
> =\sum_{k=-\infty}^{\infty}  |a_k |^2
> $$

個人覺得這是一個頗糟糕的證法，除了在考試的時候嚴謹的抄寫出來以外，對於理解上沒什麼幫助。證2我們不需要太多式子。
> [!Note] **證2**
> 推導CTFS、DTFS時，我們都有說過$a_k$不過是信號$x(t)$在**正交**基底$\{e^{jk\omega_0t}\}$上面的投影量。
> 
> 定理的左式，除了是信號的能量，也可以看成是在$L^2([0,T_0])$這個Hilbert Space的**向量長度**。因為我們定義:
> $$
> ||x(t)||^2=\langle x,x \rangle=\int_{T_0} |x(t)|^2\,dt
> $$
> 現在回頭考慮一般的三維空間。如果我們有向量$(1,2,3)$，那它的長度平方就會是$1^2+2^2+3^2$，非常簡單。這是根據畢式定理。但畢式定理只說每邊之間要互相垂直(aka.正交)，沒規定要在哪個座標之下，也就是說它實際上對任意的正交基都成立!
> 因此，如果我們知道向量在某一組正交基下的係數$\{a_k\}$，我們自然也有:
> $$
> ||x(t)||^2=\sum_{k=-\infty}^{\infty}|a_k|^2
> $$
> 現在只剩一個問題: 為何會差一個$T_0$? 這是因為我們的正交基$\{e^{jk\omega_0t}\}$長度不是1，而是$\sqrt{T_0}$。
> 想像一個三維空間，基底是$(2,0,0),(0,1,0),(0,0,1)$。那麼一個向量的x分量就會只有原來的一半。因此計算長度平方的時候，x分量還必須再乘以$2^2$，也就是這個基底的長度。
> 我們把這個長度乘回去，就有了:
> $$
> \int_{T_0} |x(t)|^2\,dt = T_0\sum_{k=-\infty}^{\infty}|a_k|^2
> $$

在第二種證明裡，你甚至不需要做任何的運算。只需要看透一件事: **帕西瓦爾定理只是向量長度的兩種算法。** 然後稍微處理一下沒歸一化的基底長度就行。

{%hackmd @seanyih/signal-main %}