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title: '2.4 線代: 基底、投影和座標轉換'

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# 2.4 線代: 基底、投影和座標轉換

看到這裡，你應該會想，我學信號跟線性代數有什麼關係? 實際上，傅立葉級數、轉換，都可以視為是一個向量空間裏面的操作。我們不需要太多複雜的理解和背公式，就可以一次搞懂4種轉換。這是這本書最重要的觀念。

在閱讀時，我預期大家有學過線性代數，所以我不會再重提。就算沒有，最低標準是學過高中數學的範圍。以下只會簡短的複習線性代數的一些觀念。

## 基底 (Basis)
在$\mathbb{R}^n$或任何向量空間中，一組向量$\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3},...,\vec{v_n}\}$

稱為基底 (basis)，如果：

1. 它們是線性獨立的。
2. 它們能生成 (span) 整個空間：任何向量都能寫成它們的線性組合。
也就是說，對任意 $\vec{x} \in \mathbb{R}^n$，都可以被寫成$\vec{x} = \sum_{i=1}^{n} c_i \vec{v_i}$。

這些$c_i$就是向量在此基底下的座標。

我們舉二維空間的例子來說，一般的座標$(a,b)$都是用了$(1,0),(0,1)$當作他們的基底。但是我們也可以用$(1,0), (1,1)$來當作基底! 舉例來說，$(4,3)$在這個新基底的座標會是$(1,3)_B$。因為:
$$
(4,3)=1 \cdot (1,0) + 3\cdot (1,1)
$$

## 正射影 (Orthogonal Projection)
想要找出$\vec{a}$在$\vec{b}$上面的投影，我們可以用這個高中就教過的公式:
:::danger
**正射影**
$$
proj\,_{\vec{b}}\,\vec{a} =\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|^2}\,\vec{b}=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{b}|}\,\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}
$$
:::
不知道高中老師怎麼解釋的，但我們可以把公式拆成三個部分來看:
1. 內積: 內積就是**投影量的乘積**
2. 除以$|\vec{b}|$: 自己往自己的投影量，當然是自己的全長。所以內積除掉長度，就會等於$\vec{a}$的投影的長度。
3. $\frac{\vec{b}}{|\vec{b}|}$: 往$\vec{b}$方向的單位向量。

## 正交歸一基底 (Orthonormal Basis)
這裡分成兩部分: 
1. 正交: 要求基底裡面的向量兩兩垂直。即內積為0。
2. 歸一: 要求基底裡面的向量長度皆為1。

### 轉換到正交歸一基底
一個正交歸一基底會給我們一個快速求出「一個向量在其上的新座標」的方法。我們先令:
$$
\vec{x} = \sum_{k=1}^{n} c_i \vec{v_i}
$$
其中$\{\vec{v_1}, \vec{v_2}, \vec{v_3},...,\vec{v_n}\}$是正交歸一基底。
然後我們試著求$\vec{x}$在$\vec{v_i}$的正射影。
$$
proj\,_{\vec{v_i}}\,\vec{x} = \frac{\vec{v_i}\cdot(\sum_{k=1}^{n} c_k \vec{v_k})}{|\vec{v_i}|^2}\vec{v_i}
$$
因為正交，分子的部分只有$\vec{v_i} \cdot \vec{v_i}=1$，其餘皆為0。分母部分，因為歸一化，是1。化簡得到:
$$
proj\,_{\vec{v_i}}\,\vec{x} = c_i \vec{v_i}
$$
恰好是自己在那個基底上的分量。
因此，想求出$c_i$，我們只需要:
$$
c_i=|proj\,_{\vec{v_i}}\,\vec{x}|=\frac{\vec{x}\cdot\vec{v_i}}{|\vec{v_i}|}=\vec{x}\cdot\vec{v_i}
$$
或是寫成線性組合的形式:
:::danger
$$
\vec{x}=\sum_{i=1}^{n} (\vec{x}\cdot\vec{v_i}) \vec{v_i}
$$
:::
稍微暴雷一下，我們會在傅立葉級數、變換中發現這個形式。

### 座標轉換後的長度
在原本的座標中，我們知道若$v=(a,b,c)$，則$|v|^2=a^2+b^2+c^2$。這個定義同樣適用在轉換到正交歸一基底後的座標。我們可以把它想像成是一個高維度的畢氏定理。寫成數學式子:
:::danger
$$
|\vec{x}|^2=\sum_{i=1}^{n} (\vec{x}\cdot\vec{v_i})^2
$$
:::
這適用於任何一組正交歸一基底。

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