# 2.2 複指數函數
如果你是受到電機系教育的讀者，應該對複數的指數不陌生。或許你還學過相量(phasor)等技巧。但這邊我還是從頭開始推導sin、cos函數到複指數形式。如果你對推導很熟悉，可以直接跳到後面，從DT的複指數開始。
## 正餘弦函數的複數型式
### 公式與證明
我們一開始直接上公式:
:::danger
**歐拉公式**
$$
e^{jt}=cos(t)+j\,sin(t)
$$
:::
在這裡，我們用$j^2=-1$代替$i$表示虛數單位。這是工程上的慣例。

接下來，我會用兩種方式證明這個公式。
>[!Note] 證明1: 從泰勒展開式出發
> 要將sin、cos拓展到複數域，我們就不可能依賴廣義角的定義。而是採用分析式:
> $$
> sin(x)=x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\,...
> $$$$
> cos(x)=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\,...
> $$
> 而指數函數也是用分析式定義，以拓展到複數的指數:
> $$
> e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{x^5}{5!}+\frac{x^6}{6!}+\frac{x^7}{7!}+ \, ...
> $$
> 我們直接跳過部分證明sin、cos、exp是**解析的**(analytic)，也就是證明其泰勒展開確實收斂到原本的函數。這部份我們直接引用結論，證明留給數學家去煩惱。
>
> 下一步是運用「觀察法」(observe that...)，注意到sin、cos和exp在形式上的相似之處。如果我們把它拆開來看，會發現sin、cos需要交替出現的正負符號，而每項之間相差$x^2$。因此我們猜測，需要往$e^x$的自變數裡面丟個虛數單位。
>
> 試著寫下$e^{jx}$的展開如下:
> $$
> e^{jx}=1+jx-\frac{x^2}{2!}-\frac{jx^3}{3!}+\frac{x^4}{4!}+\frac{jx^5}{5!}-\frac{x^6}{6!}+\frac{jx^7}{7!}+ \, ...
> $$$$
> = (1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}-\frac{x^6}{6!}+\,...)+j(x-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\frac{x^7}{7!}+\,...)
> $$$$
> = cos(x)+j\,sin(x)
> $$ 通靈完畢。

> [!Note]證明2:從隸美弗定理出發
> 我們有$cos(nx)+j\,sin(nx)=(cos(x)+j\,sin(x))^n$。令$t=nx$。左式是$cos(t)+j\,sin(t)$，而右式可以寫成$(cos(\frac{t}{n})+j\,sin(\frac{t}{n}))^n$。
>
> 現在我們要對右式取極限$n \rightarrow \infty$。注意$cos(t/n) \rightarrow cos(0) = 1$，而$sin(t/n) \approx t/n$。這是用到了sin和cos的極限。現在右式變成:
> $$
> \lim_{n\to \infty} (1+\frac{jt}{n})^n
> $$
> 根據指數函數的另一個定義$e^x=\lim_{n\to \infty} (1+\frac{x}{n})^n$，我們就得到了:
> $$
> cos(t)+j\,sin(t) = e^{jt}
> $$

### 公式的幾何意義
我們現在可以來看這個函數$x(t)=e^{jt}$，在複數平面上是什麼樣子。首先因為歐拉公式，我們可以將函數表為複數平面上的一個座標$x(t)=(cos(t),sin(t))$。這樣就可以看的很清楚了: 「$e^{jt}$隨著時間，在複數平面上的單位圓繞圈」。
這個函數多久會繞一圈? 當$t=2\pi$時，$(cos(2\pi),sin(2\pi))=(cos(0),sin(0))$，所以週期是$2\pi$。另外，我們還可以得到繞半圈、1/4圈的數值: $e^{j\pi}=-1$、$e^{j\frac{\pi}{2}}=j$。全部都可以用座標式推出來。

如果我們在時間上面乘以一個常數$\omega$，得到$e^{j\omega t}$，我們會得到一個「轉速不一樣的函數」，但同樣是繞著單位圓旋轉。例如$\omega=2$，則$t=\pi$時就會繞完一圈了。這個$\omega$我們一般稱為角頻率。若$T$是週期，則有$\omega = \frac{2\pi}{T}$。對比一般我們在國中學到的頻率$f=\frac{1}{T}$，我們可以得到關係式:
:::info
$$
\omega=2\pi f
$$
:::

現在，如果我們往$e^{jt}$前面乘以一個常數$A$，它會變成「繞半徑為$A$的圓旋轉」。

### 用複指數表三角函數
我們現在反過來，用複指數表示三角函數。只需要想辦法讓歐拉公式中，只留下sin或cos的部分即可。直接說結論:
:::danger
**正餘弦的複指數形式**
$$
sin(t)=Im\{e^{jt}\}=\frac{e^{jt}-e^{-jt}}{2j}
$$$$
cos(t)=Re\{e^{jt}\}=\frac{e^{jt}+e^{-jt}}{2}
$$
:::
你可以試著代回歐拉公式驗證。

## CT複指數函數
我們現在考慮一個最一般的形式: $Ce^{st}$，其中$s=\sigma+j\omega$。我們可以將它拆成兩個部份來看:
:::danger
$$
Ce^{st}=(Ce^{\sigma t})(e^{j\omega t})
$$
:::
根據上述的討論，後面的$e^{j\omega t}$是一個角頻率為$\omega$的旋轉部分。前面是振幅，我們知道$t=0$時，振幅是$C$。而隨著時間前進，信號會受到$e^{\sigma t}$的影響而有增加、衰減的振幅。

舉例來說，$\sigma<0$，振幅會隨著時間慢慢變小，而複平面的旋轉項繼續。以下是一個$e^{(-0.3+2j)t}$的複數平面圖像:

在實數軸上，看起來就會像是振幅減小的cos。


## DT複指數函數
CT的部分比較好理解，但是當我們把目光放到DT上面時，有些奇怪的事情會發生。一個最一般的形式依然是$x[n]=Ce^{sn}$，基本上和CT一樣。函數圖形可以從CT出發，並取整數值得到。

### 非週期的cos函數
DT裡面，因為我們要求**週期必須是整數**，所以不是所有cos都會是週期函數。舉例來說: $cos(n)$，就已經不是週期的了。我們來個簡單的反證法:
> [!Note] 證明
> 想要它是週期，必須使$n=2\pi$的某個整數倍。但是如果我們寫成$n=2k\pi$，我們會有$\pi=\frac{n}{2k}$。這意味著$\pi \in \mathbb{Q}$，顯然錯誤。因此我們找不到這樣的$n$。也就是$cos(n)$是非週期的。

而我們考慮$cos(\frac{29\pi n}{31})$，它的角頻率也不會是$\frac{29\pi}{31}$。因為$n=\frac{62}{29}$不是定義域。他的週期其實是$N=62$。

### 頻域的寬度只有$2\pi$
因為我們限制，$n\in\mathbb{Z}$，我們發現:
$$
e^{j(\omega+2\pi)n}=e^{j\omega n}e^{j2\pi n}=(e^{j\omega n})(1^n)=e^{j\omega n}
$$
這告訴我們，實際上「有效」的角頻率，只在$[0, 2\pi)$或是$[-\pi,\pi)$區間裡面出現(選任何一個你看得順眼的)。而其他區間上的角頻率，實際上跟這個區間裡面的某個數意義相同，想成幻覺就好。舉例來說，$\omega=19\pi$，實際上跟$\omega=\pi$意思是一樣的。

像這樣「可以選的角頻率」，我們很不正式的叫他「頻域」(frequency domain)。而「可選的$t$,$n$」則稱為「時域」(time domain)。後續我們會對這兩個詞有更多的了解。

### 高頻&低頻
在CT裡面，高低頻很好分。越靠近$|\omega|=0$的是低頻。越靠近$|\omega|=\infty$的是高頻。直接用直覺就好。不過，在DT裡面，因為我們只有$[-\pi,\pi)$這個區間，越靠近$|\omega|=0$的是低頻，越靠近$|\omega|=\pi$的是高頻。

接著加上相差$2\pi$的頻率，我們知道「$\pi$的偶數倍」都是低頻，「$\pi$的奇數倍」都是低頻。這跟我們想得很不一樣，不過如果從「限制頻率在$[-\pi,\pi)$裡面」的觀點出發，就比較好理解。

當$\omega=\pi$，其實就是$(-1)^n$。這對DT來說就是最大可能頻率了，因為每一個信號都與前一個剛好相反，週期只有2。

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