# 1.3 定義: 系統
## 什麼是系統？
系統 (System) 是一個將**輸入信號**轉換為**輸出信號**的操作或規則。
若系統F的輸入為$x(t)$，輸出為$y(t)$，則可寫成：
$$
y(t) = F\{x(t)\}
$$
更簡單的說，系統可以想像成是「輸入、輸出都是函數的函數」。

## 系統的分類

系統可依照不同特性分類。以下就是一些名詞定義，沒有什麼特別的觀念。

### 記憶性
如果一個系統的輸出，只和同個時間的輸入有關，即$y(t) = kx(t)$，則我們稱這個系統是無記憶的(memoryless)。

反之，這個系統如果和其他時間有關(不論過去、未來)，例如$y(t)=x(t)-x(t-1)$，那這個系統必須要「記下」前一個時間裡的x，因此我們會說他是有記憶的(memory)。

### 因果性 (Causality)
一個因果系統(causal)的輸出，在任一時刻**只依賴於當下及過去的輸入**。而非因果系統(non-causal)則會依賴未來的輸出。

在現實世界中，所有系統都必須是因果的。我們不可能讀取未來的事件來得到現在的輸出。因此，如果設計了一個非因果系統，代表現實中無法實現。

### 可逆性 (Invertibility)
令$y=F(x)$，如果存在一個系統G，使得$x=G(y)$，則系統F和G都是可逆的(invertible)。反之，是不可逆的(non-invertible)。

這點和函數是否可逆一樣，重點在於系統F是否是一對一的。因此我們也可以把條件寫成:
:::info
若系統F滿足$x_1 \neq x_2$，則$F(x_1) \neq F(x_2)$，則系統F是可逆的。
:::
### 穩定性 (Stability)
若任何**有界輸入**皆導致**有界輸出**，則這個系統是穩定的。這個定義稱作**BIBO穩定性** (Bounded-Input, Bounded-Output Stability)。**有界**顧名思義就是指函數的值是有限制的，不可以是無限大，這就是有界。

在這邊我們用比較數學的語言，釐清穩定性的嚴格定義。我們要求$t$可以取值在$\mathbb{R}$以外，還可以取在正負無限大。為了方便，我們定義**拓展實數**:
$$
\bar{\mathbb{R}}=\mathbb{R}\,\cup\,\{+\infty, -\infty\}
$$

然後BIBO穩定性可以寫成:
:::info
令系統F有$x(t)=F\{y(t)\}$。若對於所有$t \in \bar{\mathbb{R}}$，有「$|x(t)|<\infty$則$|y(t)|<\infty$」，則F是穩定的。
:::

舉例來說: $y(t)=e^{x(t)}$是穩定的。只有當$x(t)=\infty$時才會出現$y(t)=\infty$。而$y(t)=tx(t)$則是不穩定的，當$t=\infty$時，即使$x(\infty)$有界，也會使$y(t)=\infty$。

### 時不變性 (Time-Invariance)
若輸入延遲某個時間量$t_0$，輸出也只延遲相同時間，則系統為**時間不變**。即:
$$
y(t) = F\{x(t)\} \Rightarrow F\{x(t - t_0)\} = y(t - t_0)
$$
白話來說，時不變性代表「信號無論何時送達這個系統，系統行為都不會變化」。

### 線性 (Linearity)
在這邊複習一下線性代數應該學過的東西。一個函數要是線性的必須滿足兩個條件:

1. $F(x_1+x_2)=F(x_1)+F(x_2)$
2. $F(kx)=kF(x)\,,k \in \mathbb{C}$

而系統就是一種函數，所以當$F$是系統，$x$是信號的時候，這就是線性的定義。

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總結，信號是一種函數，而系統則是「函數的函數」，或稱「算子」。信號與系統就是在分析函數及算子的學科。

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