# 1.2 定義: 信號

## 什麼是信號?

**信號是一個函數**，用以傳遞資訊。
信號可以是以時間為變數: $f(t)$，或以空間為變數$f(x,y,z)$，或其實以什麼為變數都可以。

## 離散與連續

我們先將目光放回一維的信號。信號可分為兩大類：**連續時間** (Continuous time, CT)、**離散時間** (Discrete time, DT)。

CT訊號的自變數是連續的，也就是對整個實數取值，或記成$\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$。通常以括號和連續時間變數$t$來表示，例如$x(t)$。
DT則是只在整數取值，也就是$\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{R}$。通常以中括號和離散時間變數$n$來表示，例如$x[n]$。

更簡單來說，CT就是$x(t)$裡面$t$要放什麼隨便你，但是DT就是$x[n]$的$n$只能放整數，其他$x[1.5]$之類的都不存在，沒這東西。

借一下Oppenheim的圖。這就是CT和DT信號的樣子:

CT和DT並不是完全無關的世界。若我們每隔固定時間$T_s$，取一次連續信號的值，就能得到離散信號：
$$
x(nT_s) = x[n]
$$這就是採樣(sampling)。我們會在Ch.7講如何聯繫CT和DT。

## 信號的能量與功率

信號可能持續一段時間，也可能無限延伸。我們常用「能量」或「功率」來描述信號的強度。

### 能量信號 (Energy Signal)

當信號的總能量有限，對CT我們定義：
$$
E = \int_{-\infty}^{\infty} |x(t)|^2 \, dt < \infty
$$

對DT：
$$
E = \sum_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 < \infty
$$

例如單次脈衝、有限長的聲音。

### 功率信號 (Power Signal)

若信號無限長，但平均功率有限。對CT我們定義：
$$
P = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} |x(t)|^2 \, dt
$$
或對DT:
$$
P = \lim_{N \to \infty} \frac{1}{2N} \sum_{n=-N}^{N} |x[n]|^2
$$
例：正弦波、週期信號。

## 信號的週期性 (Periodicity)
如果一個信號在時間上每隔固定週期$T_0$會重複一次，即$x(t)=x(t+T_0)$或$x[n]=x[n+N_0]$，那麼這個信號就是**週期的**(periodic)。反之，該信號是**非週期的**(aperiodic)。

我們定義**最小的**$T_0$和$N_0$為**基本週期**。其實概念就是，你應該不會把sine函數稱作「週期$438\pi$的函數」，儘管它根據定義正確。

## 信號的奇偶性 (Even/Odd)

信號可以根據對稱性分類：

- 偶信號 (Even Signal)滿足 $x(t) = x(-t)$
- 奇信號 (Odd Signal)滿足 $x(t) = -x(-t)$
- 信號可以非奇也非偶。

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總結，**信號是一個函數**。所以在微積分學到的週期性、奇偶性，在這邊完全一模一樣。不過是多了**離散信號**這一個概念。

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