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# System prepended metadata

title: 進階-組合初步處理
tags: [進階組合]

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# 進階-組合等價敘述
## 創造故事，換句話說
組合題目的特點就是**好理解但計算難**，所以第一步一定是**簡化題目**，先把原始題目換句話說成另一種形式的組合題(等價敘述)，再來開始計算。
而一個好的簡化問題就是可以**更直接的表示題目**，或是可以表示出該題的**演算法**，這樣表示自己遇到什麼數字都可以用相同方法計算！
雖然聽起來很複雜，但實際用在組合題目上只是轉個念頭想，就會有很大的幫助。

### Example 2.1
將數字 1、2、3、...、9 等9個數字排成九位數（數字不得重複），使得前5位從左至右遞增、且後5位從左至右遞減。試問共有幾個滿足條件的九位數？(112學測數A)
:::spoiler Hint：先分析中間位置，再轉換題目敘述
可以發現滿足題目敘述的九位數中間項一定是最大的，所以必定是9。
寫到這已經解完一半了，接下來看符合敘述的九位數有幾種，可以等價敘述成**1~8任意取4位數字由小到大排在前面；剩下4位數字由大到小排在後面**。
現在已經把題目簡化成取數字題型了，而且不用排列(取出來自動排)，原本的題目也變得簡單許多。

1~8取4個數字組合數有$C_{4}^{8}=70$種
A:70種
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若等價敘述後數字有條件的排列，比如由小到大或是由大到小，那就可以視為**取數字自動排好**，而不是階乘。
除了可以將複雜的組合題目等價敘述成簡單的case計算之外，還可以將題目**換句話說**，用自己容易理解的故事來說明題目，這樣做也可以簡化題目。

### Example 2.2
設整數$a$是由1~9這9個數字不重複所排列而成的九位數，且$a$滿足「先遞增、再遞減」的條件，例如235987641或134678952都符合條件，試問這樣的$a$有幾種可能？
:::spoiler Hint：可以試著分析a是如何構成的(參考Ex 2.1)
同Ex 2.1，第一步簡化題目，發現9一定在a中間，並呈現9的左側是遞增，右側為遞減，所以不用排列。
而剩下的1~8任意選擇要在9的左側還是右側(自動排列)，一個數字有左右兩種可能，扣掉全部都是左和右2種(123456789和987654321)，便是所有的a。

$2^{8}-2=254$種
A:254種
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:::info
<另解> 換個角度想演算法：
想像有一個橫的水管，中間開口，而依序將標號1~9的數字球放入水管中，並選擇推向左側或右側。
經過這一套流程，保證了9是最後放置的，並且在兩側滿足了「先遞增、再遞減」的規則(一樣要扣掉放置全左邊和全右邊)。
則這題的a可以等價敘述為此演算法，表示若題目有1~n個數字也可以用相同方法算。
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到這裡會發現，其實組合的題目計算都不會很複雜，困難的是如何將題目初步處理，一開始應該將題目轉化成自己熟悉的等價敘述，再開始計算會容易很多。

但有一點需要注意，純排列分case討論不一定就是不好的方法，有時候反而直覺計算更簡單，不用想太多的公式或複雜方法。

# 有趣例題講解

### Problem 2.1
將1到50這50個正整數平分成甲乙兩組，每組各25個數，使得甲組的中位數比乙組的中位數小1。試問共有幾種分法？(113學測數學A)
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### Problem 2.2
在一圓的圓周上取12個等分點並以順時針方向依序編1號至12號。由這12個點任取3點為頂點所形成的三角形中，三個內角的角度由小到大會成等差數列的三角形有○ 17-1 ○ 17-2個。(113學測數學B)
:::spoiler

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