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# System prepended metadata

title: 綜合-練習題總匯
tags: [進階組合, 基礎組合]

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# 練習題總匯
這裡的題目包含了許多自創題目、歷屆試題、模考題目、學科能力競賽等等，題目中使用的方法和技巧都是我自己在解題時的思路與寫解流程，盡可能使用了最簡單又快速的方式理解題目，在這裡就是排列組合的有趣題庫大全了XDDD
善用自創機率解的性質，可以在計算排列組合題目時達到事半功倍，甚至是速解的方法！

## 基礎題 :relieved:
### Problem 2.1
由1,2,3,4,5五個數字一共可以組合多少種五位數數字不重複，且能被15整除的數？
:::spoiler Hint:初步化簡問題
被15整除的數表示能同時被3和5整除
若要被5整除，則個位數字一定要是5；又3個倍數為各位數字加總，1+2+3+4+5=15，所以一定為3的倍數。
故組合數就是前面四位的交換情況，共有4!=24種

A:24種
:::
>[!Important]延伸問題
>呈P 2.1，由1,2,3,4,5五個數字一共可以組成多少種數字不重複(沒有規定幾位數)，且能被15整除的數？
>:::spoiler :relieved: 解題思路：
>同上，我們知道個位數字一定是5，則看有幾位數分case計算
>(1)2位數
>如果是二位數則可能有`1`或`4`，共2種
>(2)3位數
>如果是三位數則可能有`13`或`34`，共2種，每一種有2!交換
>(3)4位數
>如果是四位數則只可能為`124`，有3!交換
>(4)5位數
>全選共4!交換
>綜合以上，可知總共有2+2×2!+3!+4!=2+4+6+24=36種
>
>A:36種
>:::

### Problem 2.2
在數線上有一個運動物體從原點出發，在此數線上跳動，每次向正方向或負方向跳1個單位，跳動過程可重複經過任何一點。若經過6次跳動後運動物體落在點+4處，則此運動物體共有幾種不同的跳動方法？(94年學測數學)
:::spoiler Hint:轉換題目後用組合C
+4表示有`+1`×5、`-1`×1，則組合數有$C_{1}^{6}=6$種

A:6種
:::
>[!Important]解析一般式
>題目同P 2.1。若經過n次跳動後運動物體落在點k處，則此運動物體共有幾種不同的跳動方法？$(n>0\ \land-n\leq k\leq n)$
>:::spoiler :cold_sweat: Hint:要先分析n、k關係
>首先要知道經過奇數次跳動後k一定為奇數，反之，經過偶數次跳動後k一定為偶數，若n、k奇偶不同則無解
>接著分析k的正負，分兩種情況討論
>(1) if k>0
>若k為正表示`+1`次數比`-1`次數多k，又`+1`次數與`-1`次數共n次，故`+1`有$\frac{n+k}{2}$次，`-1`有$\frac{n-k}{2}$次，則組合數有$C_{\frac{(n+k)}{2}}^{n}$種
>
>(2) if k<0
>若k為負表示`-1`次數比`+1`次數多-k，又`+1`次數與`-1`次數共n次，故`-1`有$\frac{n-k}{2}$次，`+1`有$\frac{n+k}{2}$次，則組合數有$C_{\frac{(n+k)}{2}}^{n}$種，會發現與k>0時一樣
>則綜合以上討論後得出一般式：
>\begin{cases}
>無解\ (n+k)\equiv1\ (mod\ 2)\\
>C_{\frac{(n+k)}{2}}^{n}\ (n+k)\equiv0\ (mod\ 2)
>\end{cases}
>:::

### Problem 2.3
某公司生產多種款式的「阿民」公仔，各種款式只是球帽、球衣或球鞋顏色不同。其中球帽共有黑、灰、紅、藍四種顏色，球衣有白、綠、藍三種顏色，而球鞋有黑、白、灰三種顏色。公司決定紅色的球帽不搭配灰色的鞋子，而白色的球衣則必須搭配藍色的帽子，至於其他顏色間的搭配就沒有限制。在這些配色的要求之下，最多可有幾種不同款式的「阿民」公仔？(96年學測數學)
:::spoiler Hint:純分case討論
可以分析帽子的可能情況
(1)若帽子為黑或灰
則球衣不能是白色有2種，球鞋沒有限制共3種
(2)若帽子為紅
則球衣不能是白色有2種，球鞋不能是灰色共2種
(3)若帽子為藍
則球衣可以有3種，球鞋沒有限制共3種
綜合以上，得出阿民公仔的所有款式：
$2×2×3+2×2+3×3=25$種

A:25種
:::

### Problem 2.4
有一個兩列三行的表格如下圖。在六個空格中分別填入數字1、2、3、4、5、6（不得重複），則1、2這兩個數字在同一行或同一列的方法有幾種？(99年學測數學)
![2×3表格](https://hackmd.io/_uploads/SyH_mQVc1e.png =25%x)
:::spoiler 解題思路：
將`1`隨便放入一格，則`2`要在同一行或同一列只剩下3格，其餘的4個數字有4!種情形
故方法數有6×3×4!=432種

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<另解>逆推
直接算不合的情況數，一樣將`1`隨便放入一格，則`2`在不同行且不同列的方法數剩下2格，又剩下的4個數字有4!種
故不合的情況數有6×2×4!種
而全部的排列情況有6!
則`1`、`2`在同一行或同一列的方法數有6!-6×2×4!=432種

A:432種
:::

### Problem 2.5
考慮每個元素只能是0或1的$2×3$階矩陣，它的第一列與第二列不相同，且各列的元素不能全為零，這樣的矩陣有幾個？(105學測數學)
:::spoiler Hint:簡化題目，直接列舉
所有列的可能有7種，3個格子皆可以填入`0`或`1`，除了`000`還有7種情況。第一列有7種情況，而第二列只剩下6種。
$P_{2}^{7}=42$

A:42種
:::

### Problem 2.6
有八棟大廈排成一列，由左至右分別編號1,2,3,4,5,6,7,8。今電信公司想選取其中三棟大廈的屋頂分別設立一座電信基地台。若基地台不能設立於相鄰的兩棟大廈，以免訊號互相干擾，試問在3號大廈不設立基地台的情況下，有多少種設立基地台的選取方法？(111學測數學B)
:::spoiler 解題思路：
因為1,2最多只能選擇其中一個，故可以分成以下兩種情況討論：
(1)若1,2都沒有被選擇到
則只能同時選擇4,6,8，情況數只有1種。
(2)若1,2選擇了其中一種
根據等價性，選擇`1`的組合和選擇`2`的組合是相等的，而後面4~8中取兩個，可以有`46`、`47`、`48`、`57`、`58`、`68`共6種，乘上1、2的選擇2種，共12種。
則綜合上述，基地台的選取方法數共有13種

A:13種
:::
>[!Important] 延伸問題
>若有n棟大樓排成一列(n>7)，今電信公司想選取其中四棟大廈的屋頂分別設立一座電信基地台，且任兩個基地台皆不能相鄰，則有多少種基地台的設置方法？
>:::spoiler :cold_sweat: Hint:轉換題目後用H化簡
>先令四棟大樓的編號分別為a,b,c,d，則會滿足$1\leq a\leq b\leq c\leq d\leq n$
>而這個問題可以想像成將四個標記物插入(n-4)個0中作排列，這四個標記物就是a,b,c,d，而這四個標記物隔出了五個間隔位置就是0的數量：
>`0...0`|`0...0`|`0...0`|`0...0`|`0...0`
>假設這五個位置的0數量分別有v,w,x,y,z個，得到$v+w+x+y+z=n-4$
>又因為a,b,c,d至少相隔1，所以我們知道$w,x,y\geq 1$，所以我們換成計算$v+w'+x'+y'+z=n-7$的非負整數解數量。($w=w'+1、x=x'+1、y=y'+1$)
>共有$H_{n-7}^{5}=C_{n-7}^{n-3}=C_{4}^{n-7}$種
>
>A:$C_{4}^{n-7}$種
>:::

### Problem 2.7
有三女三男共六位在校時和老師常有互動的同學，畢業後老師邀聚餐，餐後七人站一橫排照相留念。已知同學中有一女一男兩位曾有過不愉快，照相時不想相鄰，而老師站在正中間且三位男生不完全站在老師的同一側，則可能的排列方式共有幾種？(111學測數學B)
:::spoiler Hint:排容原理
(全部排法)$-$(三男同側)$-$(不愉快的相鄰)$+$(三男同側同時不愉快的相鄰)$=$(三男不同側且不愉快的不相鄰)
但因為中間排老師，所以相鄰部分要記得考慮老師的間隔，其餘老師不參與排列，分析剩下6人
全部排法：6!
三男同側：3!(三男)×3!(三女)×2(左or右)
不愉快的相鄰：因為老師在中間`0001000`，在六個0的位子選擇相鄰只有4種，則排列數有4×2!(男女換)×4!(其他人)
三男同側同時不愉快的相鄰：如果三男同側就不可能多一個女生相鄰，情況數為0
則利用排容原理計算：
6!-3!×3!×2-4×2!×4!=720-72-192=456(種)

A:456種
:::

### Problem 2.8
某公司聘請8名新進員工，其中含2名翻譯、3名工程師與3名助理。將此8人分派給研發、測試兩個部門，其中每個部門各分派4人，且各需含1名翻譯與至少1名工程師。則共有幾種分配方法？(114學測數學B)
:::spoiler Hint:只需分析翻譯和工程師
先分析翻譯還有工程師，其餘的空位就是助理所以不影響。
翻譯一定是兩位分開，而工程師分配為1人、2人，不失一般性假設第一個部門有1位工程師，又根據等價性，第一個部門有2位工程師的情況數一樣多。
若第一個部門有1位工程師與1位翻譯，剩餘的2位為助理，情況數有$C_{1}^{3}C_{1}^{2}C_{2}^{3}$種，同理，第一個部門有2位工程師的情況數相等。
綜合以上得出總分配方法數有$2C_{1}^{3}C_{1}^{2}C_{2}^{3}=36$種

A:36種
:::

### Problem 2.9
6個大小形狀**相同**的球，放入3個**不同**的箱子中，問共有多少種放法？
:::spoiler 解題思路：

:::
>[!Important] 延伸問題
>6個大小形狀**不同**的球，放入3個**相同**的箱子中，問共有多少種放法？
>:::spoiler Hint:
>
>:::

### Problem 2.10
因乾旱水源不足，自來水公司計畫在下週一至下週日這七天內停止供應自來水三天。但考慮民生需求，決定停水的這三天不相鄰，試問共有多少種停水方案？
:::spoiler Hint:直接使用插空法

:::

### Problem 2.11
下圖是由4個大小相等的正方形所組成，則圖中的9個頂點可以決定多少條直線？可以決定多少個三角形？
![2x2方格](https://hackmd.io/_uploads/ryDphKLoyl.png =20%x)
:::spoiler Hint:注意計算到重複

A:(1)20條 (2)76個
:::

## 進階題 :cold_sweat:
### Problem 2.1
將24顆雞蛋分裝到紅、黃、綠的三個籃子。每個籃子都要有雞蛋，且黃、綠兩個籃子裡都裝奇數顆。則分裝的方法數有幾種？(102學測數學)
:::spoiler Hint:技巧令未知數
令三個籃子的雞蛋數量分別有2r+2,2y+1,2g+1顆$(r,y,g\in\mathbb{Z}\land r,y,g\geq0)$，這樣可以保證三個籃子都不為空而且黃綠兩籃一定是奇數，則可以得到以下等式：
$(2r+2)+(2y+1)+(2g+1)=24$
化簡後得：
$r+y+g=10(r,y,g\in\mathbb{Z}\land r,y,g\geq0)$
則解的數量有$H_{10}^{3}=C_{10}^{12}=C_{2}^{12}=66$種

A:66種
:::

### Problem 2.2
五位正整數abcde，若滿足萬位數字a與個位數字e相同，千位數字b與十位數字d相同，則稱此五位數abcde為「對稱數」，例如：54345、11211、77777、...。今將五位正整數中的對稱數由小到大排列，則第256個數為何？
:::spoiler Hint:

:::

## 困難題 :rage:
### Problem 2.1
設$n$為正整數，令$E(n)$表示$(x+y)^{n}$的展開式中偶係數的個數，例如：因為$(x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}$，所以$E(2)=1$。
求$E(1)+E(2)+...+E(31)$的和。(學科能力競賽)
:::spoiler Hint:可以有效的賦值

:::

### Problem 2.2
設$f_k(n)$表示小於$n$的所有正整數中數字$k$的數量，比如$f_1(12)$表示在1\~12中的數字1數量，有1,10,11,12，共5個數字1，則$f_1(12)=5$；如果是$f_2(12)$表示1\~12中數字2的數量，有2,12，共2個，則$f_2(12)=2$。
試問$f_1(13664)$的值與$f_5(26758)$的值。
:::spoiler Hint:組合換句話說

:::


### Problem 2.3
apx題