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title: 入門-從數列開始
tags: [數列與級數]

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# 從數列開始
在深入了解組合之前，讓我們先來認識「數列」...
數列其實沒什麼定義，就完全任意地寫下一串數字，一個數列油然而生。而這個數列有什麼樣特殊的性質，就等著我們去仔細研究這個數列。

## 什麼是數列？
**數列** 表示一串任意的數字排成一列，比如以下這兩個我亂打的數列：
$\langle 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1 \rangle$
或是
$\langle 1,2,7,7,0,0,8,99999,\pi,-1,-2,\sqrt{73} \rangle$

而這些數列的第一項被稱為**首項**，其次是第2項、第3項、第4項...、第n項，又因為以上這些數列都是**有限的**(知道最後一項是什麼數)，所以這些數列的最後一項就被稱為**末項**。

但如果這串數列是無限的，比如：
$\langle 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,... \rangle$
或是
$\langle 1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,... \rangle$

這些數列就是**無窮的**(不知道準確的最後一項)，但還是可以被稱為「數列」，這些無窮的數列又被稱為**無窮數列**。

那如果想要表示這些數列要怎麼做？可以利用未知數還有數列的表示法來表示。
一個數列的第1項、第2項、第3項...會依序用 $a_{1}、a_{2}、a_{3}...$來表示，而「這一整串數列」就可以用$\langle a_{n} \rangle$來表示。

之所以定義這些名詞與符號表示，是為了方便在之後遇到數列時可以清楚描述他們。
當然，數列的應用還不只於此...

## 有規律的數列
一串亂寫的數列就變得沒什麼討論的價值，因為沒規律的數列完全隨機，無法通過計算寫出某一項的值，但如果這串數列是有規律的，那我們就可以預測之後的幾項可能會是什麼數字了！

比如以下這串數列：
$\langle 2n-1 \rangle = \langle 1,3,5,7,9,11,13,15,17,... \rangle$
這是正奇數的數列，第一項就是 $a_{1}$ 表示 $n=1$ 代入得出值為1，同理，第二項就是 $a_{2}$ 表示 $n=2$ 代入得出值為3，其他項以此類推。
而用 $n$ 表示第 $n$ 項的數值的多項式就被稱為**一般項**，之後只要求出了數列的一般項就等於是求出了每一項的數值了！因為我們可以透過代入不同的 $n$ 求出 $a_{n}$ 的數值。

但數列也不只有正奇數數列而已，比如以下這串數列：
$\langle n^{2} \rangle = \langle 1,4,9,16,25,36,49,64,81,100,... \rangle$
這是平方數的數列，也是一個有規律的數列。第一項同樣是 $a_{1}$ 表示 $n=1$ 代入得出值為1，同理，第二項就是 $a_{2}$ 表示 $n=2$ 代入得出值為4，其他項以此類推，最後就得到了平方數數列。

接下來用一個例題簡單測試一下自己是不是可以找出這些數列的規律。

### Example 1.1.1
觀察以下的數列，試著求出一般項：
$\langle a_{n} \rangle=\langle 1,4,7,10,13,16,19,22,25,28,...\rangle$
$\langle b_{n} \rangle=\langle 1,10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,...\rangle$
$\langle c_{n} \rangle=\langle \frac{1}{2},\frac{1}{6},\frac{1}{12},\frac{1}{20},\frac{1}{30},\frac{1}{42},\frac{1}{56},\frac{1}{72},\frac{1}{90},...\rangle$
:::spoiler Hint：觀察每一項找規律，並用未知數表示第n項的值
觀察$a_{n}$可以發現每一項都差3，所以$a_{2}$應該是$1+3$、$a_{3}$應該是$1+2×3\ \cdots$，以此類推，$a_{n}$可以表示成$1+(n-1)×3$
$a_{n}=1+(n-1)×3=3n-2$

觀察$b_{n}$可以發現每一項都是10的次方，$b_{1}=10^{0}$，$b_{2}=10^{1}\ \cdots$，$b_{n}$可以表示成$10^{n-1}$
$b_{n}=10^{n-1}$

觀察$c_{n}$可以發現每一項分母的規律，$c_{1}$可以改寫成$\frac{1}{1×2}$，$c_{2}$可以改寫成$\frac{1}{2×3}$，$c_{3}$可以改寫成$\frac{1}{3×4}\ \cdots$，$c_{n}$可以表示成$\frac{1}{n×(n+1)}$
$c_{n}=\frac{1}{n×(n+1)}$

A: $\langle a_{n} \rangle=\langle 3n-2 \rangle$、$\langle b_{n} \rangle=\langle 10^{n-1} \rangle$、$\langle c_{n} \rangle=\langle \frac{1}{n×(n+1)} \rangle$
:::

若是不確定自己的一般項答案對不對，最簡單的方式就是代入簡單的n驗證一般項，若代入的結果都與$a_{n}$相同，那麼這個一般項就是正確的了。

在認識了有規律的數列之後，是不是就想要看看這些有規律的數列會有什麼有趣的性質？

## 等差數列
回到原本的數列例子：
$\langle 2n-1 \rangle = \langle 1,3,5,7,9,11,13,15,17,... \rangle$
現在已經知道這是一個正奇數數列，而這個數列有個很特別的性質，每一項與前一項的差剛好都相等，所以這樣的數列也被稱為**等差數列**，其中每一項與項之間的差值被稱為**公差d**。

以下再舉例一些不同的等差數列例子：
$\langle n \rangle = \langle 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,... \rangle$，公差為$1$
$\langle 1 \rangle = \langle 1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,... \rangle$，公差為$0$
$\langle 10-2n \rangle = \langle 8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,... \rangle$，公差為$-2$

透過觀察可以發現，其實等差數列的公差就是**n的係數**，而原因也不難理解。
以最後一個例子說明：
$\langle 10-2n \rangle = \langle 8,6,4,2,0,-2,-4,-6,-8,-10,... \rangle$
我們知道第k項的數值是10-2k，而第k+1項數值為10-2(k+1)，透過定義，相減之後可以得到公差d，於是就得出：
$d=a_{k+1}-a_{k}=[10-2(k+1)]-(10-2k)=-2$
同樣的方式也可以驗證其他的等差數列，於是就可以得出「公差d就是一般項n的係數」的結論。

在得出公差之後，則這個數列的每一項都可以用首項$a_{1}$和公差$d$來表示：
$a_{2}=a_{1}+d$
$a_{3}=a_{2}+d=a_{1}+2d$
$a_{4}=a_{3}+d=a_{1}+3d$
$\ \vdots$
$a_{n}=a_{n-1}+d=a_{1}+(n-1)d$

除此之外，其實還可以額外定義一個不存在的項數$a_{0}$讓項數好討論，雖然「第0項」並不存在於數列中，但我們可以假設它存在，因為這樣等差數列的每一項就變得更漂亮。
則所有的項數可以改寫成：
$a_{2}=a_{1}+d=a_{0}+2d$
$a_{3}=a_{2}+d=a_{0}+3d$
$a_{4}=a_{3}+d=a_{0}+4d$
$\ \vdots$
$a_{n}=a_{n-1}+d=a_{0}+nd$
這樣的表示方式與前面是一樣的，差別只在創造了$a_{0}$後，加上k倍公差就直接是$a_{k}$數值了。

由上面的結論就可以得出等差數列的公式：
:::success
若$\langle a_{n} \rangle$為一等差數列，而$a_{m}、a_{n}$為其中兩項，又d為公差，則會滿足以下等式：
$a_{m}=a_{n}+(m-n)d\ \ (m,n \in \mathbb{Z})$
:::
證明：
先用首項和公差表示$a_{m}$、$a_{n}$
$a_{m}=a_{1}+(m-1)d$
$a_{n}=a_{1}+(n-1)d$
則將 $a_{m}$ 換成 $a_{n}$ 表示
$\begin{split}
a_{m}&=a_{1}+(m-1)d\\ &=[a_{1}+(n-1)d]+(m-n)d\\ &=a_{n}+(m-n)d
\end{split}$
這個等差數列公式可以理解成$a_{m}$會等於任意一項$a_{n}$加上(m,n相差項數)×(公差)

接下來用一題例題來看看等差數列與這些公式的應用吧！

### Example 1.1.2
小明到一間銀行存錢，一開始先存了一些錢到銀行中，之後每年銀行都會發固定金額的利息到帳戶中，而小明計畫在20年後取回所有銀行存款。7年後，小明發現自己的存款共有22668元；又過了5年，小明發現自己的存款共有22788元，則小明在計畫時間取回存款時共有多少錢？
:::spoiler Hint:試著利用等差數列描述存款的變化
先令$\langle a_{n} \rangle$為存款數列，而$a_{0}$表示一開始存的錢，$a_{k}$表示k年後的存款，公差d為固定利息。
題目已知7年後為$a_{7}=22668$，再過5年為$a_{12}=22788$，接著將這兩項用$a_{0}$、公差d表示：
\begin{cases}
a_{7}=a_{0}+7d=22668 \\
a_{25}=a_{0}+12d=22788 
\end{cases}

解二元一次聯立方程式後得出$a_{0}$和公差：
\begin{cases}
a_{0}=22500 \\
d=24
\end{cases}

最後預計取回存款是20年後，計算後得$a_{20}=a_{0}+20d=22500+20×24=22980$

A:22980元
:::

靈活運用等差數列的性質表示一個數列，可以間接的了解這個數列中的每一項是多少，進而找到更多關於數列的特殊之處。

## 等差中項
:::success
若$a,b,c$為一等差數列中的其中連續三項，則稱中間項$b$為$a,c$的等差中項。
則$a,b,c$會滿足以下性質：
$$b=\frac{a+c}{2}$$ 其中$\frac{a+c}{2}$為 $a,c$ 的算術平均數
:::
因為$a,b,c$為等差數列，則假設公差為$d$，則可以將$b,c$表示成：
$b=a+d$
$c=b+d=a+2d$
則$b=a+d=\frac{a+(a+2d)}{2}=\frac{a+c}{2}$得證。

有時等差中項的公式會被表示成：
$$2b=a+c$$這只是將上面公式等號兩側同乘2而已，沒有哪個表示比較好，只是在數列都是整數的情況下，用整數表示與計算會比較方便也漂亮XD

等差中項的性質與證明雖然簡單，但卻是意想不到的好用工具！在計算數列中某兩項的和時可以考慮使用等差中項的性質解題。

### Example 1.1.3
若有一個等差數列$\langle a_{n} \rangle$有10項，其中$a_{2}+a_{9}=24$，計算$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{10}$。
:::spoiler Hint:利用等差中項性質
假設$(a_{2},a_{9})$的等差中項為$x$，則$(a_{1},a_{10})$的等差中項亦為$x$，同理，$(a_{3},a_{8})$、$(a_{4},a_{7})$、$(a_{5},a_{6})$的等差中項亦為$x$，所以他們的合和$a_{2}+a_{9}$相等。
則$a_{1}+a_{2}+a_{3}+...+a_{10}=24×5=120$

A:120
:::

## 等比數列
數列並不是只有等差數列，還有另一個特別的數列被稱為**等比數列**，比如以下這個例子：
$\langle 10^{n} \rangle=\langle 10,100,1000,10000,100000,1000000,10000000,...\rangle$
這個數列雖然不是等差數列，但每一項與前一項的相差的倍數都相等，則這個數列就被稱為**等比數列**，其中每一項與項之間差的這個倍數就被稱為**公比r**。

以下再舉例其他的等比數列例子：
$\langle 2^{n-1} \rangle=\langle 1,2,4,8,16,32,64,128,256,512,1024,...\rangle$，公比為$2$
$\langle 3^{4-n} \rangle=\langle 27,9,3,1,\frac{1}{3},\frac{1}{9},\frac{1}{27},\frac{1}{81},\frac{1}{243},...\rangle$，公比為$\frac{1}{3}$
$\langle 8 \rangle=\langle 8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,8,...\rangle$，公比為$1$

觀察可以發現其實公比$r$就是$n$在次方的底數，證明方式與等差數列的公差$d$相似。而其中$\langle 8 \rangle$是個很特別的數列，他**不僅是等差數列也是等比數列**，在某些題目討論時需要特別考慮這種情形。
而唯一需要注意的是**等比數列中不可以有項數為0**，根據等比數列定義，公比為後項除以前項，若有項數為0則沒有定義公比，因此不能被稱為等比數列。

在得出公比之後，與等差數列相似，等比數列的每一項也可以用首項$a_{1}$和公比$r$表示：
$a_{2}=a_{1}r$
$a_{3}=a_{2}r=a_{1}r^{2}$
$a_{4}=a_{3}r=a_{1}r^{3}$
$\ \vdots$
$a_{n}=a_{n-1}r=a_{1}r^{n-1}$

一樣的，其實還可以額外定義一個不存在的項數$a_{0}$讓項數好討論，雖然「第0項」不存在在數列中，但我們可以假設它存在。
則所有的項數可以改寫成：
$a_{2}=a_{1}r=a_{0}r^{2}$
$a_{3}=a_{2}r=a_{0}r^{3}$
$a_{4}=a_{3}r=a_{0}r^{4}$
$\ \vdots$
$a_{n}=a_{n-1}r=a_{0}r^{n}$
這樣的表示方式與前面是一樣的，差別只在創造了$a_{0}$後，乘上k倍公比就直接是$a_{k}$數值了。

由上面的結論也可以得出等比數列的公式：
:::success
若$\langle b_{n} \rangle$為一等比數列，而$b_{m}$、$b_{n}$為其中兩項，又$r$為公比，則會滿足以下等式：
$b_{m}=b_{n}×r^{(m-n)}\ \ \ (m,n \in \mathbb{Z})$
:::
先用首項 $b_{1}$ 和公比 $r$ 表示 $b_{m}$、$b_{n}$
$b_{m}=b_{1}×r^{(m-1)}$
$b_{n}=b_{1}×r^{(n-1)}$
最後將 $b_{m}$ 換成 $b_{n}$ 來表示
$\begin{split}
b_{m}&=b_{1}×r^{(m-1)}\\ &=[b_{1}×r^{(n-1)}]×r^{(m-n)}\\ &=b_{n}×r^{(m-n)}
\end{split}$

這個等差數列公式可以理解成$b_{m}$會等於任意一項$b_{n}$乘上(相差項數)次的(公比)，也可以和等差數列的公式做比較。

知道了數列的其中兩項就可以解聯立方程式，計算出首項和公比，就可以進而計算出其他項與一般項了。

等比數列也有和等差數列相似的性質，綜合這兩種數列，我們試試以下的例題：

### Example 1.1.4
$\langle a_{n} \rangle$是一個等差數列，$\langle b_{n} \rangle$是一個等比數列，其中$a_{1}=3$、$a_{9}=27$，且$(a_{3},a_{4})=(b_{3},b_{4})$，問$(a_{5},b_{5})$為何？
:::spoiler Hint:直接分析等差、等比數列
先分析$\langle a_{n} \rangle$等差數列
$a_{9}=a_{1}+8d \Rightarrow 27=3+8d \Rightarrow d=3$
有了公差之後就可以計算其他項
$a_{3}=a_{1}+2d=9$
$a_{4}=a_{1}+3d=12$
$a_{5}=a_{1}+4d=15$
由題幹可知$(b_{3},b_{4})=(9,12)$
則現在可以分析$\langle b_{n} \rangle$等比數列
$b_{4}=b_{3}r \Rightarrow 12=9r \Rightarrow r= \frac{4}{3}$
有了公比之後就可以計算其他項
$b_{5}=b_{4}r=12× \frac{4}{3}=16$

A:(a_{5},b_{5})=(15,16)
:::

之後遇到的數列問題，大多數情況都會是等差數列或等比數列這些有規律的數列，而如何分析這些數列並計算就是最重要的部分。

## 等比中項
和等差數列相似，等比數列也有等比中項的性質。
:::success
若$a,b,c$為一等比數列中的其中連續三項，則稱中間項$b$為$a,c$的等比中項。
則$a,b,c$會滿足以下性質：
$$b=\sqrt{ac}$$ 其中$\sqrt{ac}$ 為 $a,c$ 的幾何平均數
:::
因為$a,b,c$為等比數列，則假設公比為$r$，則可以將 $b,c$ 表示成：
$b=ar$
$c=br=ar^{2}$
則 $b=ar=\sqrt{a×ar^{2}}=ar$ 得證。

有時等比中項的公式也可以被表示成：
$$b^{2}=ac$$而這就是把上面公式平方後的結果而已，在解未知數時沒有根號會比較方便計算。

等比中項需要注意的問題為正負號，若a,c為異號時表示b不存在，也就是這個等比數列不存在，而這也需要在題目中考慮並討論。

# 有趣例題講解
### Problem 1.1.1
有一數列 $\frac{1}{1}$，$\frac{1}{2}$，$\frac{2}{2}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2}{3}$，$\frac{3}{3}$，$\frac{1}{4}$，$\frac{2}{4}$，$\frac{3}{4}$，$\frac{4}{4}$，$\frac{1}{5}$，$\frac{2}{5}$，$\frac{3}{5}$，$\frac{4}{5}$，$\frac{5}{5}$，$...$，依此規律的數列，試問$\frac{5}{12}$為第幾項？又第100項為何？
:::spoiler :relieved: Hint:觀察數列並尋找規律
可以發現分母為1的數字有1個，分母為2的數字有2個，以此類推...
則在$\frac{5}{12}$之前有11個分母為11的數，還有$\frac{1}{12}$、$\frac{2}{12}$、$\frac{3}{12}$、$\frac{4}{12}$這4個分母為12的數，所以可以知道$\frac{5}{12}$前共有(1+2+3+...+11)+4=70個數，則說明了$\frac{5}{12}$是數列中第71個數。
由前面我們知道分母1\~11的分數共有66個數，則分母1\~12的分數共有66+12=78個，分母1\~13的分數共有78+13=91個。
數列第100個數表示為分母14的第9個數，為$\frac{9}{14}$

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<另解>利用求和公式
在$\frac{5}{12}$之前有所有分母為1\~11的分數，共有$\frac{(1+11)×11}{2}=66$個，往後推五個分母12分數至$\frac{5}{12}$，說明此為第71項。
第100項表示之前所有分母為1\~n的分數小於100個，分母為1\~(n+1)的分數大於100個。則可以得出以下不等式：
$\frac{(1+n)×n}{2} \leq 100 \leq \frac{(1+n+1)×(n+1)}{2}$
整理後得$n(n+1) \leq 200 \leq (n+1)(n+2)$
計算後得 $n=13$ 符合不等式。
又$\frac{(1+13)×13}{2}=91$，往後推九個分母14分數至$\frac{9}{14}$，說明此為第100項。

A:(1)第71項 (2)$\frac{9}{14}$
:::

### Problem 1.1.2
有一個等差數列$\langle a_{n} \rangle$，其中第10項是37，第25項是82，求首項為何？公差為何？第30項為何？一般項為何？
:::spoiler :relieved: Hint:寫出等差數列項數的表示法
題目已知$a_{10}=37$、$a_{25}=82$，又因為$\langle a_{n} \rangle$是一個等差數列，則假設首項為$a_{1}$、公差為$d$，將這兩項用首項、公差表示：
\begin{cases}
a_{10}=a_{1}+9d=37 \\
a_{25}=a_{1}+24d=82 
\end{cases}

解二元一次聯立方程式後得出首項和公差：
\begin{cases}
a_{1}=10 \\
d=3 
\end{cases}

第30項為$a_{30}=a_{1}+29d=10+87=97$

一般項為$a_{n}=a_{1}+(n-1)d=10+3(n-1)=3n+7$

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<另解>試試用第0項$a_{0}$表示
先把$a_{10}$、$a_{25}$用$a_{0}$和$d$表示：
\begin{cases}
a_{10}=a_{0}+10d=37 \\
a_{25}=a_{0}+25d=82 
\end{cases}

解二元一次聯立方程式後得出$a_{0}$和公差：
\begin{cases}
a_{0}=7 \\
d=3 
\end{cases}

則首項為$a_{1}=a_{0}+d=10$
第30項為$a_{30}=a_{0}+30d=7+90=97$
一般項為$a_{n}=a_{0}+nd=7+3n$

A: $a_{1}=10$、$d=3$、$a_{30}=97$、$a_{n}=3n+7$
:::

### Problem 1.1.3
一等比數列的前三項為$x$、$2x+2$、$3x+3$，則這個等比數列的第五項為何？
:::spoiler :relieved: Hint:利用等比中項性質
利用等比中項性質可知 $2x+2$ 為 $x$ 和 $3x+3$ 的等比中項，因此可以得出以下等式：
$(2x+2)^{2}=x(3x+3)$ 展開並整理後得
$\Rightarrow 4x^{2}+8x+4=3x^{2}+3x$
$\Rightarrow x^{2}+5x+4=0$
$\Rightarrow (x+1)(x+4)=0$
$\Rightarrow x=-1$ or $-4$
計算出 $x$ 值之後分兩種case討論並檢驗。

(1)當$x=-1$
代入前三項可知前三項為$-1$、$0$、$0$，但因為等比數列中不能有項數為0。
因此$x=-1$不合

(2)當$x=-4$
代入前三項可知前三項為$-4$、$-6$、$-9$，可知公比為$r=\frac{3}{2}$。
題目目標要求$a_{5}=a_{1}r^{4}=a_{3}r^{2}=-9×(\frac{3}{2})^{2}=-\frac{81}{4}$

A: $\large -\frac{81}{4}$
:::

### Problem 1.1.4
有一等差數列$\langle a_{n} \rangle$，滿足$\large \frac{a_{1}+a_{2}}{a_{3}+a_{4}+a_{5}}=\frac{1}{2}$，試求$\large \frac{a_{9}}{a_{19}}$為多少？
:::spoiler :cold_sweat: Hint:分析首項和公差的關係
利用首項$a_{1}$與公差$d$表示所有項數，可以得出：
$\large \frac{a_{1}+a_{2}}{a_{3}+a_{4}+a_{5}}=\frac{a_{1}+(a_{1}+d)}{(a_{1}+2d)+(a_{1}+3d)+(a_{1}+4d)}=\frac{2a_{1}+d}{3a_{1}+9d}=\frac{1}{2}$
交叉相乘後得$4a_{1}+2d=3a_{1}+9d \Rightarrow a_{1}=7d$
得到了首項$a_{1}$和公差$d$的比例關係。

最後代入題目所求：
$\large \frac{a_{9}}{a_{19}}=\frac{a_{1}+8d}{a_{1}+18d}=\frac{15d}{25d}=\frac{3}{5}$

A: $\large \frac{3}{5}$
:::

### Problem 1.1.5
設等差數列$\langle a_{n} \rangle$之首項$a_{1}$與公差$d$皆為正數，且$\log{a_{1}},\log{a_{3}},\log{a_{6}}$依序也成等差數列。求此等差數列的公差$d$為何？(111學測數A)
:::spoiler :cold_sweat: Hint:等差數列性質+log計算
先將所有項數都用首項$a_{1}$與公差$d$表示：
$\log{a_{3}}=\log{(a_{1}+2d)}$
$\log{a_{6}}=\log{(a_{1}+5d)}$
接著利用等差中項的性質，已知$\log{a_{3}}$為$\log{a_{1}},\log{a_{6}}$的等差中項，則可以得到以下等式：
$2\log{a_{3}}=\log{a_{1}}+\log{a_{6}} \Rightarrow 2\log{(a_{1}+2d)}=\log{a_{1}}+\log{(a_{1}+5d)}$
接著利用log的性質可以知道
$\Rightarrow (a_{1}+2d)^{2}=a_{1}(a_{1}+5d)$
$\Rightarrow (a_{1})^{2}+4a_{1}d+4d^{2}=(a_{1})^{2}+5a_{1}d$
$\Rightarrow a_{1}d=4d^{2} \Rightarrow a_{1}=4d$

有了首項$a_{1}$與公差$d$的比例關係後帶回原題。
已知$\log{a_{1}},\log{a_{3}},\log{a_{6}}$為等差數列，則$\langle a_{n} \rangle$之公差$d'$為$\log{a_{3}}-\log{a_{1}}$，接著代換首項成d：
$d'=\log{a_{3}}-\log{a_{1}}=\log{(a_{1}+2d)}-\log{a_{1}}=\log{(\frac{6d}{4d})}=\log{(\frac{3}{2})}$

A: $\log{(\frac{3}{2})}$
:::