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title: 拋鉛球問題
tage: Physics
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### ==問題==
 鉛球比賽，若不考慮空氣阻力與摩擦力，且地面為水平，當施力相同時，鉛球出手時的角度多少度可以擲最遠？

### ==解答==
:::spoiler
假設：鉛球離手時初速為$V_0$，初始飛行方向與地面垂直夾角為$\theta$，飛行距離為$d$，飛行時間為$t$，重力加速度為$g$

則水平方向初速$V_x=V_0 cos\theta$，垂直方向初速$V_y=V_0 sin\theta$

垂直方向為自由落體運動→ $t=2 {V_y \over g} = 2 {V_0 sin \theta \over g}$

水平方向為等速直續運動→ $d = V_xt = V_0 cos \theta t = V_0 cos \theta \cdot 2 {V_0 sin \theta \over g} = (2 sin \theta cos \theta) \cdot {V_0^2 \over g}$

由三角函數公式 $sin 2 \theta = 2 sin \theta cos \theta$，可得

$d = sin 2 \theta \cdot {V_0^2 \over g}$，其中${V_0^2 \over g}$為常數

故求$d$之最大值等於求$sin 2 \theta$之最大值

$max (sin 2 \theta) = 1 → 2 \theta = {\pi \over 2} → \theta = {\pi \over 4} = 45° _\sharp$
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