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# System prepended metadata

title: Trigonometrische Funktionen

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# Trigonometrische Funktionen

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Mit trigonometrische Funktionen können Seiten und Winkel in einem rechtwinkligen Dreieck berechnet werden. Es gibt den Sinus, den Kosinus und den Tangens.
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:::success
Es gilt:
$$\sin(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Hypotenuse}$$
$$\cos(\alpha)=\frac{Ankathete}{Hypotenuse}$$
$$\tan(\alpha)=\frac{Gegenkathete}{Ankathete}$$
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Für das folgende Dreieck gilt dann:
![](https://i.imgur.com/42DuWOF.png)



| Für den Winkel $\alpha$ gilt: | Für den Winkel $\beta$ gilt: |
|:-----------------------------:| ---------------------------- |
|$\sin(\alpha)=\frac{a}{c}$      | $\sin(\beta)=\frac{b}{c}$     |
|$\cos(\alpha)=\frac{b}{c}$      |  $\cos(\beta)=\frac{a}{c}$    |
|$\tan(\alpha)=\frac{a}{b}$      | $\tan(\beta)=\frac{b}{a}$     |

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:::warning
**Beispielaufgabe:**
Gegeben: $\alpha = 36,9°$; $c=5cm$
Gesucht: $a=?$ und $b=?$
Für $a$:
$$\sin(\alpha)=\frac{a}{c}\hspace{2cm}|\cdot c$$
Gleichung umformen:
$$a=\sin(\alpha)\cdot c$$
Zahlen einsetzen:
$$a=\sin(36,9°)\cdot 5cm$$
$$a=3cm$$

Für $b$:
$$\cos(\alpha)=\frac{b}{c}\hspace{2cm}|\cdot c$$
Gleichung umformen:
$$a=\cos(\alpha)\cdot c$$
Zahlen einsetzen:
$$a=\cos(36,9°)\cdot 5cm$$
$$a=4cm$$

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:::info
Auch in einem nicht rechtwinkligen Dreieck kann der Sinus und Kosinus zur Berechnung genutzt werden:
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**Für jedes beliebige Dreieck $\Delta$ABC gilt:**
:::success
**Sinussatz:**
$$\frac{a}{\sin(\alpha)}=\frac{b}{\sin(\beta)}=\frac{c}{\sin(\gamma)}$$
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:::success
**Kosinussatz:**
$$ a^2=b^2+c^2-2\cdot b \cdot c \cdot \cos(\alpha)$$
$$ b^2=a^2+c^2-2\cdot a \cdot c \cdot \cos(\alpha)$$
$$ c^2=a^2+b^2-2\cdot a \cdot b \cdot \cos(\alpha)$$
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