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title: Quadratische Gleichungen

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# Quadratische Gleichungen

## Scheitelform
Gleichungen in folgender Form heißen Scheitelform, da man den Scheitelpunkt direkt ablesen kann.
$$ f(x)= a(x-d)^2+e$$
mit dem Scheitelpunkt: $S(d/e)$

**Beispiel:**
$$f(x) = (x-3)^2+6$$
Der Scheitelpunkt liegt bei: $S(3/6)$

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## Normalform
Eine Quadratische Gleichung in der Form
$$f(x)=ax^2+bx+c$$
wird Normalform genannt. Um bei dieser Gleichung den Scheitelpunkt zu bestimmen, kann man sie in die Scheitelform überführen. Dies geschieht mit Hilfe der quadratischen Ergänzung.

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## Quadratische Ergänzung

:::info
$$f(x)=ax^2+bx+c$$
Für $a=1$ gilt:
$$f(x)=\left(x+\frac{b}{2}\right)^2-\left(\frac{b}{2}\right)^2+c$$
:::

**Beispiel:**
$$f(x)=x^2+6x+5$$
mit $$b=6, c=5$$
Wir setzen die Werte in die Formel ein:
$$f(x)=\left(x+\frac{6}{2}\right)^2-\left(\frac{6}{2}\right)^2+5$$
zusammengefasst ergibt sich:
$$f(x)=(x+3)^2-4$$
Der Scheitelpunkt liegt bei $S(-3/-4)$.

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## Nullstellen berechnen

Um die Nullstellen einer Funktion zu berechnen, wird f(x) (oder y) gleich 0 gesetzt.

$$ f(x)=0$$

Beispiel für eine quadratische Funktion in der Scheitelform:

$$f(x)=(x+3)^2 -4$$
$$0=(x+3)^2 -4\hspace{1cm}|+4$$
$$4=(x+3)^2\hspace{1cm}| \sqrt{\hspace{0.5cm}}$$
$$\pm 2=x+3\hspace{1cm}|-3$$
$$ x_1=-2-3=-5$$
$$ x_2=+2-3=-1$$
Daraus ergeben sich die Nullstellen $N_1(-5/0)$ und $N_2(-1/0)$

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## Die pq-Formel

Hat man die Funktion nicht in der Scheitelform, sondern in der Normalform gegeben, so gibt es zwei Möglichkeiten, die Nullstellen zu bestimmen.

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### 1. Möglichkeit:
1. Gleichung in Scheitelform überführen (quadratische Ergänzung)
2. $f(x)=0$ setzen
2. Nullstellen berechnen

### 2. Möglichkeit:

Hat man eine Gleichung in der folgenden Normalform
:::info
$$ f(x)=x^2+px+q$$
:::
so kann man die Nullstellen direkt mit der pq-Formel berechnen.

Die Herleitung der pq-Formel erfolgt wie in der 1. Möglichkeit durch Umformung der Normalform in die Scheitelform:

Quadratische Ergänzung: $\hspace{1cm}f(x)=(x+\frac{p}{2})^2-(\frac{p}{2})^2+q$
Umformung für $f(x)=0$:
:::info
$$x_{1/2}=-\frac{p}{2} \pm \sqrt{(\frac{p}{2})^2-q}$$
:::
