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# System prepended metadata

title: Quadratische Funktionen

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# Quadratische Funktionen


## Normalparabel

Eine Normalparabel wird angegeben mit der Funktionsgleichung:
$$y=x^2$$
Es gilt: 
$$f(x)=y$$ 
Sie beschreibt eine quadratische Zuordnung.

> ### Beispiele:
- Beschleunigte Bewegung: $s=\frac{1}{2}\cdot a\cdot t^2$
- Wasserverlauf in einem Springbrunnen
- Brückenaufhängungen
- Der schiefe Wurf
- Form von Tunneleingängen, Fenster und Gebäudefassaden

### In einem Koordinatensystem berschreibt die Normalparabel eine Bogenform:


**Wertetabelle:**
|  x  | -5  | -4  | -3  | -2  | -1  | 0   | 1   | 2   |  3  |  4  | 5   |
|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|:---:|
|  y  | 25  | 16  |  9  |  4  |  1  |  0  |  1  |  4  |  9  | 16  | 25  |

**Graph:**

![](https://i.imgur.com/QQULv4q.png)

:::info
Um eine Normalparabel zu zeichnen, kann eine **Parabelschablone** verwendet werden.
:exclamation: Wichtig: Im Koodinatensystem muss gelten: $1cm \: \hat{=} \: 1 Einheit$
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## Eigenschaften von quadratischen Funktionen

### Richtung der Öffnung:
 
 ![](https://i.imgur.com/o5c7Frg.png)

:::success

$\hspace{3.7cm}f(x)=x^2$ : positives Vorzeichen :arrow_right: nach oben geöffnet 
$\hspace{3.4cm}g(x)=-x^2$ : negatives Vorzeichen :arrow_right: nach unten geöffnet
:::


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### Gestauchte oder gestreckte Form
![](https://i.imgur.com/hLQqxAO.png)

:::success
<span style="color:red">$\hspace{6cm}g(x)=4x^2$</span> :arrow_right: Parabel ist gestreckt
<span style="color:green">$\hspace{5.9cm}h(x)=\frac{1}{2}x^2$</span> :arrow_right: Parabel ist gestaucht
:::

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### Verschiebung

![](https://i.imgur.com/rQ3lp4m.png)

:::success
$\hspace{5cm}f(x)=x^2-2$ :arrow_right: nach unten verschoben
$\hspace{5cm}g(x)=x^2+2$ :arrow_right: nach oben verschoben
:::

![](https://i.imgur.com/sZ7rpuZ.png)

:::success
$\hspace{5cm}f(x)=(x-2)^2$ :arrow_right: nach rechts verschoben
$\hspace{5cm}g(x)=(x+2)^2$ :arrow_right: nach links verschoben
:::

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### Scheitelpunkt

Der Scheitelpunkt ist der höchste bzw. niedrigste Punkt:

![](https://i.imgur.com/GfhmGNc.png)

:::success
$\hspace{8cm}S_1(0/3)$ 
$\hspace{7.8cm}S_2(0/-3)$ 
:::

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### Nullstellen

Nullstellen sind die Schnittpunkte mit der x-Achse :arrow_right: x-Wert gleich Null:

![](https://i.imgur.com/cdNVV3v.png)


:::success
$\hspace{5.5cm}$Nullstelle von $f(x)$ :arrow_right: $N(0/0)$ 
$\hspace{3.5cm}$Nullstellen von $g(x)$ :arrow_right: $N_1(-2/0)$ und $N_2(2/0)$ 
:::

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## Symmetrie
Eine Funktion ist symmetrisch zur y-Achse, wenn gilt:
$$f(-1) = f(1)$$

![](https://i.imgur.com/A6ZW5CU.png)

:::success
$\hspace{2cm}f(x)=-x^2+2$ :arrow_right: $f(-1)= -(-1)^2+2=1 = 1 = -(1)^2+2=f(1)$ 
$\hspace{2.3cm}g(x)=x^2-3$ :arrow_right: $f(-1)= (-1)^2-3=-2 = -2 = (1)^2-3=f(1)$

:::

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## Zusammenfassung Eigenschaften
$\hspace{1cm}$

**Funnktionsgleichung$\hspace{4 cm}$Eigenschaft$\hspace{5 cm}$ Scheitelpunkt**

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$\hspace{7cm}|a| > 1$ :arrow_right: Parabel ist gestreckt 
$\hspace{6.15cm}0< |a| < 1$ :arrow_right: Parabel ist gestaucht
==$f(x)=a \cdot x^2$==<span style="color:red">$\hspace{14cm} S(0/0)$</span>
$\hspace{7cm}a < 0$ :arrow_right: Parabel ist nach unten geöffnet
$\hspace{7cm}a > 0$ :arrow_right: Parabel ist nach oben geöffnet

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$\hspace{7cm}e > 0$ :arrow_right: Parabel ist nach oben verschoben
==$f(x)=x^2+e$==<span style="color:red">$\hspace{13.8cm} S(0/e)$</span>
$\hspace{7cm}e < 0$ :arrow_right: Parabel ist nach unten verschoben 

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$\hspace{7cm}d > 0$ :arrow_right: Parabel ist nach rechts verschoben
==$f(x)=(x-d)^2$==<span style="color:red">$\hspace{13.4cm} S(d/0)$</span>
$\hspace{7cm}d < 0$ :arrow_right: Parabel ist nach links verschoben 

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$\hspace{7cm}a$ bestimmt die Form und die Öffnung
==$f(x)=a\cdot (x-d)^2+e$==<span style="color:red">$\hspace{12cm} S(d/e)$</span>
$\hspace{7cm}e$ und $d$ bestimmt die Verschiebung

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$\hspace{1cm}$


## Beispielaufgaben

### Parabel zeichnen
### Eigenschaften erkennen
### Scheitelpunkt bestimmen
### Funktionsgleichung bestimmen
### Nullstellen bestimmen
### Allgemeine Form und Scheitelform

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## Übungsaufgaben

### Interaktive Übungen
- [Parabeln zeichnen(realmath)](http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelzeichnen01.html)
- [Gleichungen ablesen (realmath)](http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabelquiz.html)
- [Eigenschaften ablesen (realmath)](http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/Parabel/scheitelform.php)
- [Scheitelpunkt erkennen (realtmath)](http://www.realmath.de/Neues/Klasse9/parabueb/parabscheit2.html)
- [Vermischte Übungen (Aufgabenfuchs)](https://mathe.aufgabenfuchs.de/funktion/quadratische-funktion.shtml)

### Übungen im Buch

- ***Klar so weit?*** auf Seite 54 und 55
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