# Potenzen


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## Negative Basis / Negativer Exponent
:::info
$\hspace{2.2cm}$ n gerade $\hspace{0.8cm}\rightarrow \hspace{0.5cm}$ Wert der Potenz ist positiv
$$\color{green}{(-4)\cdot(-4)\cdot(-4)\cdot(-4)= +4^4}$$
$\color{red}{(-a)^n}$
$\hspace{2.2cm}$ n ungerade $\hspace{0.3cm}\rightarrow \hspace{0.7cm}$Wert der Potenz ist negativ
$$\color{green}{(-4)\cdot(-4)\cdot(-4)= -4^3}$$

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$$\color{red}{a^{-n}=\frac{1}{a^n}}$$
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## Zehnerpotenzen
:::info
$\color{red}{x \cdot 10^n} \hspace{1.5cm} \rightarrow \hspace{1.5cm}$ Das Komma der Zahl $x$ wird um $n$ Stellen nach rechts verschoben
$$\color{green}{4,3 \cdot 10^5 = 430.000}$$
$\color{red}{x \cdot 10^{-n}} \hspace{1.24cm} \rightarrow \hspace{1.5cm}$ Das Komma der Zahl $x$ wird um $n$ Stellen nach links verschoben
$$\color{green}{4,3 \cdot 10^{-5} = 0,000043}$$
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## Rechnen mit Potenzen
### Addition / Subtraktion
:::warning
Nur Potenzen mit gleicher Basis und gleichem Exponent können addiert/subtrahiert werden!
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:::info
**Zuerst werden alle Summanden auf die gleiche Potenz gebracht und dann addiert bzw. subtrahiert:**

$\hspace{3cm}3 \cdot 10^4 + 5 \cdot 10^3 \hspace{4cm} 30.000 + 5000$
$\hspace{2.5cm}= 3 \cdot 10^4 + 0,5 \cdot 10^4 \hspace{2.9cm} = 35.000$
$\hspace{2.5cm}= 3,5 \cdot 10^4 \hspace{4.75cm} = 3,5 \cdot 10^4$

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$\hspace{3cm}3 \cdot 10^4 - 5 \cdot 10^3 \hspace{4cm} 30.000 - 5000$
$\hspace{2.5cm}= 3 \cdot 10^4 - 0,5 \cdot 10^4 \hspace{2.9cm} = 25.000$
$\hspace{2.5cm}= 2,5 \cdot 10^4 \hspace{4.75cm} = 2,5 \cdot 10^4$

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### Multiplikation / Division
:::warning
Nur Potenzen mit gleicher Basis können multipliziert bzw. dividiert werden. Die Zahlen werden multipliziert, die Basen bleibt erhalten und die Exponenten werden addiert bzw. subtrahiert!
:::

:::info
$\hspace{3cm}7 \cdot 10^5 \cdot 8 \cdot 10^7 \hspace{4cm} 7 \cdot 10^5 \cdot 8 \cdot 10^{-7}$
$\hspace{2.5cm}= 7 \cdot 8 \cdot 10^{(5+7)} \hspace{3.7cm} =7 \cdot 8 \cdot 10^{5-7}$
$\hspace{2.5cm}= 56 \cdot 10^{12} \hspace{4.55cm} = 56 \cdot 10^{-2}$
$\hspace{2.5cm}= 5,6 \cdot 10^{13} \hspace{4.35cm} = 5,6 \cdot 10^{-1}$

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$\hspace{3cm}7 \cdot 10^5 : 8 \cdot 10^7 \hspace{4cm} 7 \cdot 10^5 : 8 \cdot 10^{-7}$
$\hspace{2.5cm}= 7 \cdot 10^5 \cdot \frac{1}{8 \cdot 10^7} \hspace{3.7cm} =7 \cdot 10^5 \cdot \frac{1}{8 \cdot 10^{-7}}$
$\hspace{2.5cm}=7 \cdot 10^5 \cdot 8 \cdot 10^{-7} \hspace{3.05cm}= 7 \cdot 10^5 \cdot 8 \cdot 10^{7}$
$\hspace{2.5cm}= 5,6 \cdot 10^{-1} \hspace{4.2cm} = 5,6 \cdot 10^{12}$
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## Wurzeln

:::warning
Die Wurzel ist die Umkehrung einer Potenz:
$$\color{red}{x^3 = 8}$$
$$ \color{red}{\sqrt[3]{x^3}= \sqrt[3]{8}}$$
$$\color{red}{x = 2}$$
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### Andere Schreibweise

:::warning
$$\color{red}{\sqrt[n]{a} = a^{\frac{1}{n}}}$$
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## Spielereien mit Potenzen

::: info
$$\sqrt[-3]{8} = 8^{- \frac{1}{3}} = \frac{1}{8^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{2}$$
$$16^{0,75}=16^{\frac{3}{4}}=\sqrt[4]{16^3}=(\sqrt[4]{16})^3= 2^3=8$$
$$\sqrt[3]{\frac{1}{8}}=\frac{\sqrt[3]{1}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{1}{2}$$
$$\sqrt[3]{64000}=\sqrt[3]{64 \cdot 10^3}=\sqrt[3]{64} \cdot \sqrt[3]{10^3}=4 \cdot 10=40$$
$$\sqrt[3]{1728}=\sqrt[3]{8 \cdot 216}=\sqrt[3]{8} \cdot \sqrt[3]{216}=2 \cdot 6=12$$
$$(3^2)^3 = 9^3 = 729 \hspace{1cm} oder \hspace{1cm} (3^2)^3=3^{2 \cdot 3}=3^6=729$$

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