# 醫用物理暨量子物理基本觀念

>關鍵字：
>PET、Laser與光震波效應、雙狹縫干涉與觀測、黑體輻射、量子化、粒子的波性、電磁波的粒性、氫原子光譜、物質波、不確定性原理、薛丁格方程（含時、非含時）與矩陣力學
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>授課：國立成功大學醫學系 陳毓宏教授

## 醫用物理部分
### PET
#### 基本原理：
利用正子（Positron, 電子的反物質）與電子相遇時會輻射511 keV Gamma射線（可以質能守恆之E=mc^2^計算）。
>產生正子的反應式：${}^{18}_9\text F$ -> ${}^{18}_8\text O$ + e^+^ + V~e~
#### 操作方式：
將葡萄糖的一個氧原子換成氟-18後供病人攝入。由於腦部與癌細胞的葡萄糖消耗量特別多，因此癌細胞與腦部會有特別多氟-18。其會衰變出正子，與周遭電子相遇後輻射出Gamma射線。而Gamma射線會有方向相反的兩道（動量守恆）。故透過偵測兩道射線的方向與時間差，即可定位氟-18的位置。但是由於癌細胞與腦部都會有大量氟-18，所以在檢測腦部腫瘤時，需搭配其他影像醫學技術。

### Laser、光震波效應、光熱效應與美白
#### Laser之基本原理：
需要至少**三個能階**。首先，將多數電子由第一個能階（最穩態）激發到第三個能階（最不穩定）。此時，電子多會從第三能階（最不穩）躍遷回第二能階（次穩態）。如此，可在第二能階累積許多電子。此時，再打入與第二能階到第一能階間能量差的能量相同之電磁波，就會造成累積在第二能階的電子**同時**躍遷回第一能階。此過程稱為**Population Inversion**，此手法為**受激放射**。

#### 製造短脈衝雷射的原理：
先將雷射分散後再放大，最後再凝聚，就可得到能量極大的短脈衝雷射。

#### Pulse mode與CW mode在處理黑色素時的差異：
在同一段時間內，Pulse mode所射出的光子數較CW mode多。因此，Pulse mode可以連續擊中黑色素分子中的同一電子，使其**游離（Ionization）**。電子游離後，黑色素中的各原子都帶正電，即因庫侖排斥力而粉碎，稱為**光震波效應**。此過程幾乎不產生熱，效果較好且不容易傷害皮膚。
相反地，CW mode因為光子密度（時間層面）不夠，無法連續擊中同一電子至游離，因此只會反覆激發電子、再任其躍遷回較低能階。此過程中，能量會以**聲子（虛擬粒子）** 的方式傳出，產生**熱**。此即**光熱效應**，對皮膚造成更多負擔，消除黑色素效果較差。

## 量子物理部分
### 緒論
　　量子物理可由薛丁格方程的出現，切分為**早期量子理論**與**量子力學**兩時期。
在**早期量子理論**時期，普朗克以黑體輻射推知電磁波能量的量子化、愛因斯坦承接此觀念，並以光量子解釋光電效應。然而，愛因斯坦並無法驗證光電效應中的動量守恆，因此光的粒子性仍無法被完全證明。直到康普頓散射實驗中，才證明光確實具有動量。
而德布羅意猜想，粒子可能也具有波的性質，提出物質波理論（波長=普朗克常數/動量）。然而，當時技術無法製作出可用來驗證電子之波性的狹縫。於是，有科學家將晶格當作天然狹縫，成功做出電子繞射實驗，證明電子之波性。後續，也有科學家做出電子束、單顆電子之雙狹縫干涉實驗，再次證明電子之波性。
薛丁格再根據物質波理論中的基本假設，推導出了波函數與薛丁格方程。至此，開啟**量子力學**時期。波函數包含了所有觀測者所知的量子資訊，透過操作子可提取出所要的資訊（例如能量）。此外，薛丁格方程可分為含時、非含時，非含時薛丁格方程，等價於海森堡的矩陣力學。
最後，量子物理中有一個重要支柱：**不確定性原理**。即，動量與位置之觀測誤差，不可能同時趨近於零，能量與時間亦同。不確定性原理可由波或矩陣力學的觀點導出，不論是否涉及觀測皆存在。

### 黑體輻射與能量量子化
- 黑體之要件：**完全吸收電磁波（僅發射自身的熱輻射）、達到熱平衡**。一般以有一個小洞的金屬空腔模擬黑體。
- Q:太陽是否是黑體？若是，整顆都是嗎？
- A:按黑體之要件，係（1）完全吸收電磁波且（2）達熱平衡，太陽表面應較接近黑體。蓋太陽屬高密度氣體，電磁波射入後應難以逃脫，故符合要件(1)；然而太陽內部仍在進行核融合反應，未達熱平衡。惟太陽表面應較接近熱平衡，故滿足要件(2)。

- 古典觀點之黑體輻射：
- 觀念：黑體中的帶電粒子與外來電磁波交互作用，發生簡諧振蕩而產生電磁波。
- 代表模型：
- R.J.應用前述簡諧振子觀點、熱力學的能量均分定理，並假設黑體中的電磁波是駐波，發展出其假設。但是，R.J.模型中越高頻率的電磁波能量越高，不符觀測結果，稱為**紫外災變**。
- Wien應用熵增定理、波茲曼分佈與機率的概念，推導出Wien曲線。其理論解決了紫外災變的問題，卻仍與實驗值有偏差。

- 量子觀點之黑體輻射：
- 觀念：只有**特定能量**之電磁波可被輻射（E=nhf）。
- 代表模型：
- Planck與Wien理論的差異，主要僅在於量子化。Planck認為黑體腔壁上的振子只能輻射出特定能量的電磁波。
- Einstein將振子的概念，進一步簡化為不能交換能量的light gas，可以得出與Planck同樣的結果。（皆符合實驗結果）

>關於統計
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>Boltzmann：適用古典粒子（e.g.理想氣體）。粒子相同但可分，並無涉自旋。
>Bose-Einstein：適用Bosons（e.g.photons）。粒子相同且不可分，自旋數為整數。
>Fermi-Dirac：適用Firmions（e.g.electrons）。粒子相同且不可分，自旋數為分數。

### 光電效應、康普頓散射與光子
- **光電效應**在高中階段談的較多，於茲不贅。其核心重點在於：愛因斯坦認為光波具有粒子性。因為，愛因斯坦發現在光電效應中，只有將光當作一份一份的**光量子**（光子, photon）解釋實驗結果。然而，在光電效應中，愛因斯坦卻無法證明光子有粒子的一項重要性質：**動量守恆**。此係由於光電效應中的電子受原子核的庫侖吸引力，故光子-電子系統的動量不會守恆。要計算動量守恆，必須同時考慮光子-電子-原子，而此系統顯然過於複雜。

- 在**康普頓散射**實驗中，高能光子與**靜止電子**（也就是：未被束縛）發生碰撞後，可觀測到電子、離開的光子（損失**動量與能量**而波長變長）遵守動量守恆率。至此，光的粒性被證立。

### 物質波、波粒二象性的本質與波耳氫原子模型、一維盒中質點
- 所謂物質波，本質上是一種機率波，是**波包**（wave packet）。依據傅立葉變換，波包是由許多週期波疊加而來。
- 物質波理論可用於解釋**波耳氫原子**模型。波耳對於氫原子所做出的**角動量量子化**、**定態軌道**(我們現在知道，應該是軌域)假設，可以物質波理論解釋。角動量量子化的理由，是因為在允許的軌道上，電子的物質波會形成**駐波**。駐波的特性是可以保存能量，這也說明了為什麼在定態軌道上，電子不會輻射出電磁波。至於電子在不同能階間的**躍遷**，則是物質波的**演化**。至此，可以確認物質波至少攜帶了**能量資訊**（因此能解釋氫原子能階）。
- **一維盒中質點**（particle in a box）是將電子關在一個無限深的一維位能井當中。此時，電子的物質波在井中形成駐波。需注意者係，在波耳氫原子模型中的電子物質波，同時有位能與動能；盒中質點的電子只帶有動能而無位能。因此，氫原子模型中能階越高，能階差越小，盒中質點則反之。
- 至此，可確認不論粒子或光子，皆具有**波粒二象性**。究竟何謂波性？何謂粒性？**波性為：疊加、干涉與繞射；粒性為：可碰撞（遵守動量守恆）**。不過，嚴格言之，其實**波**才是事物的本質。所謂**粒性，只是較為定域的波**，也是**離散的波包**（discrete packet）。

### 波觀點的不確定性原理
- 不確定性原理係指：一個物質的動量與位置，無法被同時確定；能量與時間亦同。
- 常見誤解：~~不確定性原理是由於觀測帶來的擾動，因此又稱**測不準原理**。~~
- 正確理解：不論是否涉及觀測，不確定性原理是一**固有**（intrinsic）性質。
- 從物質波解釋不確定性（動量-位置）原理：
物質波的波包是由**週期波疊加**後形成（傅立葉變換）。對於單一週期波，其波長不確定性趨近於0，根據物質波波長公式，可得其確切之動量，然而其位置完全無法確定。當疊加許多不同波長的週期波後，波包位置之不確定性下降，動量之不確定性卻因為疊加了許多不同波長的波而增大（不同波長即不同動量）。應注意者係，不論疊加多少週期波，位置不確定性均無法縮小至0，蓋其受高斯函數所限制。(ΔxΔp≥h/4π)
- 時間-能量不確定性原理：
由於波數(k)=2π/λ, 又λ=h/p，可由動量-位置不確定性原理推知ΔxΔk≥1/2。再由Δx=V~g~Δt, Δk=2πΔf/V~g~帶回原式。最後兩側同乘h再移項，得ΔtΔE≥h/4π。
>其實真的能推導出的，只有動量-位置不確定性原理。其他的不確定性原理都是由其導出。因為動量、位置都是操作子，而**時間不是**。
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>此外需注意者係，如果兩個物理量間可以直接不經觀測而相互推導，就不具不確定性。
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>若導入矩陣力學的概念：不確定性原理中的兩個物理量，是希爾伯特空間中一組無法互相表述的基底。

### 薛丁格方程與波函數之概念
- 薛丁格方程是從**物質波**的基本假設出發：λ=h/p, f=E/h。再加上E~total~=E~kinetic~+E~potential~=p^2^/2m + V(x,t)進行推導。可以推導出波函數Ψ(x,t)=cos(kx-ωt)±isin(kx-ωt)。（含時）
- 波函數包括了**所有觀測者可知的量子資訊**，且包含虛數，無法觀察。
- 波函數絕對值的平方，等於粒子在該處的**機率密度**。

### 專論：電子雙狹縫干涉、觀測與糾纏（entanglement）
- 關鍵：將電子視為波。因此，電子通過兩狹縫後，形成兩個新的波，相互干涉。
- 觀測之概念：觀測者發出訊號，與被觀測者交互作用後回傳訊號與觀測者。因此，觀測必然會影響到被觀測者。
- 糾纏之概念：當兩個量子態交互作用，無法分別表述時，即為糾纏。此與疊加或干涉不同，疊加或干涉的量子態還是可以分別表述。
- 何以觀測到電子從哪一個狹縫通過時，干涉條紋就會消失？
- 若發出足夠強、可以觀測到電子由哪個狹縫通過的光，其與電子物質波之糾纏，會造成物質波的粒性增加。

### 觀念小結
- **能量狀態**的變化是以薛丁格方程式來計算
- 這裡的波是指運動中電子的**物質波**
- 用波函數來描述的粒子量子態，而不是**運動軌跡（trajectory）**（只出現在古典物理）
- 波函數無法觀察，所以只是一個**數學語言**
- 波的語言可以以抽象的**矩陣力學**來取代（非含時薛丁格）
- 波的強度的平方等於若觀察時在該處發現此粒子的**機率密度**

>作者：醫學119 張恩睿
>編修建議：醫學119 張淇翔