Доказательство эквивалентности меры Хартли и частного случая меры Реньи при $\alpha = 0$:
$$ i_0 = \frac{1}{1-0}\ln\sum_{j=1}^{N}p_j^0=\ln\sum_{j=1}^{N}1=\ln N = i_{max}. $$

Доказательство сходимости частного случая меры Реньи при $\alpha = 1$ к мере Шеннона:
$$ i_1 = \lim_{\alpha \to 1} \frac{1}{1-\alpha} \ln\sum_{j=1}^{N}p_j^{\alpha} = \lim_{\alpha \to 1} \frac{1}{1-\alpha} \ln \left(1 + \left(\sum_{j=1}^N p_j^{\alpha} - 1\right)\right) = \\ = \lim_{\alpha \to 1} \frac{1}{1-\alpha} \ln\sum_{j=1}^{N} \left(p_j^{\alpha}-1\right) = \text{[по правилу Лопиталя]} = \lim_{\alpha \to 1} \frac{\sum_{j=1}^{N}p_j^{\alpha}\ln p_j}{-1} = \\ =
-\sum_{j=1}^{N}p_j\ln p_j = i$$