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::: info
Nessuna pretesa di essere corretti ed esaustivi sui contenuti del corso e della materia.
E' nato dalla necessità di avere un posto con tutte le formulacce senza doverle imparare a memoria.

Basato sul corso di Fondamenti di Automatica tenuto da Albertino Leva. 2020/2021.

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### Lagrange continua
$$x(t) = e^{At} x(0) + \int_{0}^{t} e^{A(t-\tau)} b u(\tau) d\tau$$

### Lagrange discreta
$$x(k) = A^k x(0)+ \sum_{l=0}^{k-1} A^{k-l-1} \cdot b \cdot u(l)$$

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### Sistemi linearizzati

Si linearizza un sistema nell'intorno di un equilibrio $(\bar x, \bar u )$.
L'eq di stato linearizzata è

$$ \delta \dot x(t) = \mathcal{f}_x(\bar x, \bar u) \delta x(t)+\mathcal{f}_u(\bar x, \bar u) \delta u(t) $$

L'eq di uscita è

$$ \delta y(t) = \mathcal{g}_x(\bar x, \bar u) \delta x(t)+\mathcal{g}_u(\bar x, \bar u) \delta u(t)$$

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### Stabilità
#### Casi matrici di Jordan
- tutti gli autovalori di $A$ hanno $Re <0 \iff$ Sistema AS
- Almeno un autovalore con $Re > 0 \implies$ Sistema I
- Tutti gli autovalori hanno $Re \leq0$, almeno uno ha $Re = 0$ e il più grande [minore di jordan](https://it.wikipedia.org/wiki/Forma_canonica_di_Jordan) ha $\text{dimensione} = 1 \implies$ Sistema S
- In tutti gli altri casi è SIstema I (n modo polinomiale)

Le stesse considerazioni valgono anche nel caso a tempo discreto, analizzando il *modulo* degli autovalori invece che il loro segno.

N.B. un blocco di jordan di dimensione 2 ha forma
$$
\begin{bmatrix}
\lambda & 1 \\ 0 & \lambda
\end{bmatrix}
$$

### Criteri di stabilità asintotica LTI TC
Cercano di rispondere alla domanda: è vero che tutti gli autovalori della matrice $A$ hanno $Re < 0$ ?
Chiamiamo $\pi(s)$ il polinomio caratteristico di $A$.

1) $$ det(A) = \prod_{i=1}^{n} s_i$$ Se è nullo esiste un autovalore nullo, il sistema **non è Asintoticamente Stabile**.
2) $$tr(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} = \sum_{i=1}^{n} s_i$$ se $tr(A) >0$ allora esiste almeno un $s$ postivo, il sistema **è instabile**
3) Se $\forall i \space Re(s_i) <0$, cioè sistema **AS** allora i coefficienti di $\pi(s)$ sono tutti concordi e non nulli

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### Criterio di Routh

| $a_0$ | $a_2$ | $...$ | $a_{n-1}$ |
| ----- | ----- | ----- | --------- |
| $a_1$ | $a_3$ | $...$ | $a_{n}$ |
| $h_1$ | $h_2$ | $h_3$ | |
| $q_1$ | $q_2$ | $h_3$ | |
| $w_1$ | $w_2$ | $w_3$ | |
fino ad avere **n+1 righe**

Regola che vale per tutte le righe dalla terza in poi $$w_i = - \frac{1}{q_1} \det \begin {bmatrix}
h_1 & h_{i+1} \\
q_1 & q_{i+1}
\end{bmatrix}$$

Il sistema è AS se e solo e tutti gli elementi della prima colonna sono concordi e non nulli

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### Laplace
$$
\mathcal{L} [v(t)] = \int_0^{+\infty} v(t) e^{-st} dt \text{ } ,s \in \mathbb{C}
$$
#### proprietà
1) operatore lineare
2) legame differenziale diventa" algebrico" $$\mathcal{L} \left[\frac{d}{dt}v(t)\right] = s \mathcal{L} \left[v(t)\right] - v(0)$$
3) $$\mathcal{L} \left[ \int_0^{+\infty}v(t) \right ] = \frac{1}{s}\mathcal{L} [v(t)]$$
4) $$\mathcal{L} [v(t-\tau)] = e^{-s\tau} \mathcal{L}[v(t)] $$

#### Teorema del valore iniziale
Dato $V(s) = \mathcal{L} [v(t)]$ ho che
$$
v(0^+) = \lim_{s \to \infty} sV(s)
$$
#### Teorema del valore finale
Dato $V(s) = \mathcal{L} [v(t)]$ se esiste $\lim_{t\to\infty} v(t)$ allora $$
\lim_{t\to\infty} v(t) = \lim_{s \to 0} sV(s)
$$

#### TDL note
| $v(t)$ | $\mathcal{L} [v(t)]$ |
| ------------------ | ----------------------------------- |
| $imp(t)$ | $1$ |
| $sca(t)$ | $$ \frac{1}{s}$$ |
| $ram(t)$ | $$ \frac{1}{s^2}$$ |
| $sca(t)t^\alpha$ | $$ \frac{1}{s^{\alpha +1}}$$ |
| $e^{at}$ | $$ \frac{1}{s-a}$$ |
| $t^ne^{at}$ | $$ \frac{n!}{(s-a)^{n+1}}$$ |
| $$ sin(\omega t)$$ | $$ \frac{\omega }{\omega^2 + s^2}$$ |

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### Funzione di trasferimento
Nei sistemi SD LTI a TC SISO posso fare laplace della equazione del sistema e trovare

$$G(s) = c(SI - A)^{-1}b+d $$

### Raggiungibilità e Osservabilità

$$ M_R = \begin{bmatrix}
b& Ab& A^2b & \ldots & A^{n-1}b
\end{bmatrix}$$

$$ M_O = \begin{bmatrix}
c^T & A^Tc^T & A^{2^T} c^T & \cdots & A^{n-1^T} c^T
\end{bmatrix}
$$

1) SD può avere parti NR e/o NO
1) NR e NO sono punti di vista "cambiabili" da cambi di base
2) La Funzione di Trasferimento rappresenta solo le parti R&O del sistema
3) Gli autovalori delle parti NR e/o NO del sistema si **cancellano** e non compaiono come poli

- Una cancellazione è **critica** se avviene al di fuori della regione di stabilità asintotica

- Nel caso a tempo discreto se uno stato è raggiungibile lo è al più in *n* passi-

_Considerazioni su R&O_
- (A,b,c,d) e G(s) sono rappresentazioni equivalenti $\iff$ nella G(s) non ci sono state cancellazioni
- é possibile studiare la stabilità di un sistema con i poli di G(s) solo se non ci sono state cancellazioni critiche
- Se ci sono state cancellazioni il sistema non può essere R&O.
- può essere o uno o l'altro o nessuno dei due

### Realizzazione
Data una funzione di trasferimento nella forma
$$G(s) = \frac{b_1 s^{n-1} + b_2 s^{n-2} + ... + b_n}{s^n + a_1s^{n-1}+ ... + a_n} + d$$

	graph LR
	id[ ] -->|U|id1[1/D] 
	id1 -->|X| N
	N -->|Y| id2[  ]

Con questa scomposizione in blocchi posso fare
$$
\frac{X(s)}{U(s)} = \frac{1}{D(s)} = \frac{1}{s^n + a_1s^{n-1}+ ... + a_n} \implies U(s) = s^nX(s) + a_1s^{n-1}X(s) + ... + a_nX(s)
$$

Facendo riferimento alla proprietà di derivazione della [[Trasformata di Laplace]] e scegliendo oppurtamente le varibili di stato ($\dot x_n = s^nX(s)$ e poi a scendere definire $x_n$ fino a $x_1$) posso esprimere il sistema come
$$\begin{cases}
\dot x_1 = x_2 \\
\dot x_2 = x_3 \\
... \\
\dot x_n = -a_1x_{n} -a_2x_{n-1} ... -a_nx_{1} + U
\end{cases}$$

in forma matriciale
$$ \begin{bmatrix}
\dot x_1 \\
\dot x_2 \\
\vdots \\
\dot x_{n-1} \\
\dot x_n \\
\end{bmatrix} = \begin {bmatrix}
0 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\
0 & 0 & 1 & \cdots & 0 \\
\vdots & \vdots & \cdots & \ddots \\
0 & 0 & \cdots & \cdots & 1 \\
-a_n & -a_{n-1} & \cdots & \cdots & -a_1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
\vdots \\
x_{n-1} \\
x_n \\
\end{bmatrix}
+
\begin{bmatrix}
0\\
0 \\
\vdots \\
0 \\
1 \\
\end{bmatrix}
U
$$

ricomponendo i blocchi e facendo i calcoli possiamo trovare il vettore orizzontale $c$
$$
y(t) = \begin{bmatrix}
b_n & b_{n-1} & \cdots & b_1
\end{bmatrix} x(t)
$$

**nota**: $a_n$ è il termine noto, e cosi via.

Questa realizzazione ha la propritetà di essere sempre raggiungibile, ed è per questo anche detta **forma canonica di raggiungibilità**. Esiste anche la forma canonica di osservabilità.

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### Blocchi

La G(s) equivalente di una retroazione negativa è $$ \frac{\text{andata}}{1 + \text{anello}} $$
mentre la G(s) equivalente di una retroazione positiva è $$ \frac{\text{andata}}{1 - \text{anello}} $$
_"only pussies need to remember the formula for positive feedback" - a pussy_

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### Diagrammi di Bode

#### DBM
- traccio DBM di $\mu /s^g$
- segno sull'asse $\omega$ le freq d'angolo di poli e zeri non nel'origine
- procedo per $\omega$ crescenti
- zero -> pendenza + 1
- polo -> pendenza -1
#### DBF
- inizia con valore fase di $\frac{\mu}{(j\omega)^g}$
- vedere contributi fase nella tabella

| s/d | z/p | contributo |
| --- | ---- | ---- |
| sx | zero | +90° |
| sx | polo | -90° |
| dx | zero | -90° |
| dx | polo | +90° |

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## Sintesi del controllo
Funzioni di trasferimento utili
- Anello aperto:
$$ L(s) = R(s)P(s)$$
- Sensitività complementare:
$$ T(s) = \frac{L(s)}{1+L(s)} = \frac{Y}{W}$$
- Sensitività:
$$ S(s) = \frac{1}{1+L(s)} = \frac{Y}{D_a}$$
- Sensitività del controllo:
$$ Q(s) = \frac{R(s)}{1+L(s)}$$

### Criterio di Nyquist

1. si consideri il SD LTI a TC con $L(s)$ razionale fratto
2. si tracci il diagramma di nyquist di $L(s)$
3. si indichi con $p_d$ il n° di poli di $L(s)$ con $Re >0$
4. si indichi con N il numero di giri del diagramma di nyquist di $L(s)$ attorno al -1
- contati con segno + se antiorari
- contati con segno - se orari
- Se il DN di $L(s)$ passa per il punto -1 non è ben definito

**criterio**
Sistema in anello **chiuso** a.s. $\iff$ N ben definito e uguale a $P_d$

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### Grado di stabilità
qua riportato solo il *margine di fase*, l'unico veramente usato nel corso

Frequenza critica -> $|L(j\omega_c)| = 1$ (frequenza che taglia l'asse 0dB)
Fase critica -> $\varphi_c = \sphericalangle L(j\omega_c)$
**Margine di fase** -> $\varphi_m = 180° - |\varphi_c|$

### Criterio di Bode

#### Ipotesi di Bode
1. $P_d =0$
2. Il diagramma di bode del modulo di $L(j\omega)$ taglia l'asse 0 dB una e una sola volta dall'alto verso il basso
**Criterio di Bode**
Detto $\mu_L$ il guadagno di $L(s)$ e $\varphi_M$ il suo margine di fase
$$\text {Anello Chiuso è AS} \iff \begin{cases} \mu_L >0 \\ \varphi_M > 0 \end{cases}$$

## Progetto del regolatore in retroazione

### Progetto statico

- assumo che il sistema in AC sia AS
- considero solo le componenti canoniche di w e $d_a$
- Uso il teorema del valore finale per calcolare l'errore a regime (transitorio esaurito)
- $e_{\infty} := \lim_{t\to\infty} e(t)$
- impongo i requisiti $|e_\infty| \leq tot$
- ottengo così i requisiti su guadagno e/o tipo della FdT d'anello $L(s) = R(s)P(s)$
### Progetto dinamico

$$ T = \frac{Y}{W}= \frac{L}{1+L} \simeq \begin{cases}
1 & |L| >> 1 \\
L & |L| << 1
\end{cases}$$
$$ S = \frac{Y}{D_a} = \frac{1}{1+L} \simeq \begin{cases}
\frac{1}{L} & |L| >> 1 \\
1 & |L| << 1
\end{cases}$$


#### vincolo sulla velocità di risposta

$$ \omega_{cmin} < \omega_{c} < \omega_{cmax} $$

#### vincolo sulla reiezione di un disturbo in andata

Un disturbo $d_a = Asin(\omega_at)$ , con $|A|<\bar A$ noto e $0 \leq \omega_{a1} \leq \omega_{a} \leq \omega_{a2} < \omega_c$ con $\omega_{a1} , \omega_{a2}$ noti, deve produrre asintoticamente su y un effetto di ampiezza minore di $\Delta_a$ noto
$$ \frac{\text{max ampiezza tollerabile dell'effetto di da su y}}{\text{max ampiezza possibile di da}} = \frac{\Delta_a}{\bar A}$$
cioè che $$\left|
\frac{Y(j\omega)}{D_a(j\omega)}
\right| = |S(j\omega)| < \frac{\Delta_a}{\bar A} \text{ per } \omega_{a1} \leq \omega \leq \omega_{a2} $$

però come abbiamo visto prima per $\omega$ *abbastanza minore* di $\omega_c$ si ha $S \simeq 1/L$ quindi si ha $$|S| < \frac{\Delta_a}{\bar A} \implies |L| > \frac{\bar A} {\Delta_a} $$


#### vincolo sulla reiezione di un disturbo in

Un disturbo $d_r = Bsin(\omega_rt)$ , con $|B|<\bar B$ noto e $\omega_c \leq \omega_{r1} \leq \omega_{r} \leq \omega_{r2} \leq \infty$ con $\omega_{r1} , \omega_{r2}$ noti, deve produrre asintoticamente su y un effetto di ampiezza minore di $\Delta_r$ noto.
Si svolgono dei calcoli analoghi a quelli per la reiezione in andata
$$\left|
\frac{Y(j\omega)}{D_r(j\omega)}
\right| = |T(j\omega)| < \frac{\Delta_r}{\bar B} \text{ per } \omega_{r1} \leq \omega \leq \omega_{r2} $$
ma per $\omega$ *abbastanza maggiori* di $\omega_c$ si ha $T\simeq L$
$$ |L(j\omega)| < \frac{\Delta_r}{\bar B} \text{ per } \omega_{r1} \leq \omega \leq \omega_{r2} $$


#### Memorandum per gli esercizi di sintesi del controllo
occorre provare un paio di volte per trovare una FdT L(s) che:

- rispetti i vincoli del Progetto statico
- rispetti i vincoli del Progetto Dinamico come indicati sul foglio semilog
- **contenga eventuali zeri di P(s)** nel semipiano destro in modo che R(s) non li cancelli
- sarebbe una cancellazione critica
- abbia un margine di fase adeguato
- abbia un grado relativo almeno pari a quello di P(s), se no R(s) viene con più zeri che poli (impossibile come visto in Funzione di Trasferimento)
- abbia meno zeri e poli possibili per avere R(s) il più semplice possibile

### Effetto del ritardo sul progetto di sintesi del controllo

il ritardo nella funzione di trasferimento del processo, e quindi della L(s), compare sotto forma di un esponenziale tipo
$$P(s) = \bar P(s) e^{-\tau s}$$
L'unico effetto si ha sulla fase critica $\varphi_c$, e quindi sul margine di fase $\varphi_m$
$$\varphi_c = \text{ fase ottenuta con il regolo sapendo } g_L - \omega_c \cdot \tau $$

- Il calcolo va -***sempre***- fatto in radianti.

### Compensatore in andata


obbiettivo: FdT da d a y sia nulla
$$ \frac{Y}{D} = \frac{H+MCP}{1+RP} = 0$$
$$ = H + MCP = 0 \implies C_{id} = - \frac{H}{MP}$$

- il $C_{id}$ può avere più zeri che poli -> non realizzabile
- $C_{id}$ può essere instabile

se per le ragioni pocanzi riportate il compensatore non potrà essere realizzato basterà ridurre l'obbiettivo del compensatore ad una banda $\Omega$ nota e trovare una C(s) tale che $C(j\omega) \simeq C_id(j\omega)$ per $\omega \in \Omega$
**rule of thumb** -> non toccare C per ***due*** decadi oltre la massima $\omega$ nel disturbo

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## Sistemi discreti

### Trasformata zeta

$$ V(z) = \sum_{k=0}^{\infty} v(k) z^{-k}, \quad z \in C$$

#### proprietà
1. operatore lineare
2. $Z[v(k+1)] = zV(z) - zv(0)$
1. moltiplicare per $z$ *anticipa* di un passo

| v(k) | V(z) |
| ----------- | --------------- |
| $imp(k)$ | 1 |
| $sca(k)$ | $\frac{z}{z-1}$ |
| $a^ksca(k)$ | $\frac{z}{z-a}$ |
*tabella dedicata agli eroi della strage del 3 maggio 1945*

### Discretizzazione Approssimata

#### Eulero Esplicito (EE)
$$R^*(z) = R\left(\frac{z-1}{T_s}\right)$$

- ***non*** preserva la stabilità asintotica

#### Eulero Implicito (EI)

$$R^*(z) = R\left(\frac{1-z^{-1}}{T_s}\right) = R\left(\frac{z-1}{zT_s}\right)$$
- preserva la stabilità asintotica

#### Tustin

$$R^*(z) = R\left( \frac{2}{T_s} \frac{z-1}{z+1}\right)$$

- preserva la stabilità asintotica, ancora meglio di EI

### Criteri per la scelta di T~s~
Scelgo la condizione più restrittiva tra
1. scelta della $\omega_s$ (frequenza di sampling)
- generalmente $\omega_s = k\omega_c$
- $\omega_s = \frac{2\pi}{T_s}$
2. $|L(j\omega_N)|$ < tot
- **nyquist-shannon** ci dicono che per non avere aliasiang dobbiamo avere $f_s > 2 f_n$
3. effetto di S&H
- senza $\tau_c$ : $\frac{1}{2}\omega_cT_s <$ tot
- con $\tau_c$ : $\frac{3}{2}\omega_cT_s <$ tot
4. $T_s <<$ della più piccola costante di tempo in R(s) (rule of thumb: 1/5)

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## PID e PI
### PI
- un integratore e uno zero
$$ R(s) = K_p(1+\frac{1}{sT_i}) = K_p\frac{1+sT_i}{sT_i} $$
- Kp: guadagno
- Ti: tempo integrativo

### PID
- due zeri, un integratore , un polo
$$R(s) = \mu \frac{(1+sT_1)(1+sT_2)}{s(1+sT_p)}$$
### Legge PID in forma standard ISA reale a 2 gradi di libertà

$$ U(s) = k(bW(s)-Y(s)+\frac{1}{sTi}(W(s) - Y(s)) + \frac{sTd}{1+sTd/N}(cW(s)-Y(s)))) $$

- b: peso del set point nell'azione P
- c: peso del set point nell'azione D
- **nessun** peso nell'azione I (perché a regime va a 0, W tende a Y che va bene)

:::success

Written by Sigma Chad Marco Molè. Thanks to Davide 'beta' Palmiotti for some little tiny punctuation corrections (unsignificant mistakes).

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*"Mr. Molé has ruined the White House in a cruel way. He has surpassed even the worse of dictators. It's impossible to go back to democracy" - President Dwight D. Eisenhower*