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# System prepended metadata

title: 應用統計

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# Excel使用

## 分析工具箱
按一下 [檔案] 索引標籤，然後按一下 [選項]，再按一下 [增益集] 類別。
選取 [管理] 方塊中的 [Excel 增益集]，然後按一下 [執行]。
在 [增益集] 方塊中，選取 [分析工具箱] 核取方塊，然後按一下 [確定]。
然後在資料那裏就會出現這個
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJUhKppER.png)


## 查表
- 常態分配
    ```excel
    =NORM.DIST(x, 0, 1, TRUE) #帶表從負無限大開始算的常態分配
    ```
- 假設檢定
    ```excel
    #以下公式都以右尾表示，與課本一樣
    =FINV(1-alpha, n1, n2) #F分配(預設左尾)
    =T.INV(1-alpha,n) #T分配(預設左尾)
    =NORM.INV(1-alpha,0,1)#常態分配(預設左尾)
    =CHISQ.INV.RT(alpha, n)#卡方分配(預設右尾) 
    ```


# 第六章 常態分配
喔經驗法則是68%, 95%, 99.7%
## 標準常態分配曲線
$\Phi(z)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}z^2}$，說不定有人要硬幹需要
## 給機率值的查表
課本上的都是右尾，所以和excel的會差一個負號，以下是常見的:
$z_{0.01}=2.33$
$z_{0.025}=1.96$
$z_{0.05}=1.645$
$z_{0.1}=1.28$
## 常態分配逼近二項分配
二項分配看成相同且獨立的隨機變數和，即$X=\sum X_i,\ X_i\sim B(1,p)$
那在$n$很大的時候，$X\approx N(np,np(1-p))$

# 第七章 抽樣分配
## 中央極限定理
$\bar{X}\sim N(\mu,\frac{\sigma^2}{n})$
$\frac{\bar{X}-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}\sim N(0, 1)$
## 卡方分配
$\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \mathcal{X}_{n-1}^2$
## t分配 
$\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}\sim t_{n-1}$
## F分配
$\frac{S_1^2/S_2^2}{\sigma_1^2/\sigma_2^2}\sim F_{n_1-1,n_2-1}$
 
# 第八章 假設檢定與信賴區間
## 大致來說
$H_0:假設正確的部分$
$H_1:不正確的情況$

大概就是在 $H_0$ 正確的情況下，如果發生這種情況(我們提出的證據)的機率 $<\alpha$ 的話，就說 $H_0$ 顯著，也就是他顯著錯誤，$\alpha$ 被稱作顯著水準。
- **棄卻域**
    就是 $H_0$ 顯著的範圍
- **信賴區間**
    $\mu$ 要在哪個區間內，$x$才不會掉在他的棄卻域裡面
- **$P$ 值**
    先決定好統計量後，顯著水準要多少才會顯著
## 檢定種類
- **雙尾檢定**
譬如說店家說飲料有 $\mu$ 毫升，我們要檢定他是不是平均 $\mu$ 毫升
- **單尾檢定**
譬如說店家說飲料有 $\mu$ 毫升，我們要檢定他是不是有大於等於 $\mu$ 毫升，或者是我們檢定他是不是有小於等於 $\mu$ 毫升(就是只有一邊的)

通常來說，如果顯著水準是 $\alpha$ ，那麼單尾就是用 $\alpha$ 來檢驗，雙尾就是用 $\alpha / 2$ 來檢。

## 母體平均數檢定
### 母體標準差$\sigma$已知
使用常態分布 $N(\mu,\sigma^2/n)$

| 型式 |統計量| 棄卻域 |
| -------- |-| -------- |
| 雙尾    |$z=\frac{x-\mu}{\sigma/\sqrt{n}}$|$\|z\|>\|z_{\alpha/2}\|$|
| 左尾    |同上| $z<-z_{\alpha}$    |
| 右尾    |同上| $z>z_{\alpha}$   |


### 母體標準差未知，樣本標準差為$s$
使用自由度為 $n - 1$ 的 $t$ 分配

| 型式 |統計量| 棄卻域 |
| -------- |-| -------- |
| 雙尾    |$t=\frac{x-\mu}{s/\sqrt{n}}$|$\|t\|>\|t_{n-1,\alpha/2}\|$|
| 左尾    |同上| $t<-t_{n-1,\alpha}$    |
| 右尾    |同上| $t>t_{n-1,\alpha}$  |


## 母體平均數$\mu$的信賴區間

### $\mu$的$1-\alpha$信賴區間

- $(\overline x-e, \overline x+e)$
- 其中$e=Z_{\alpha/2} \times \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$

### $\sigma$未知，$\mu$的$1-\alpha$信賴區間

- $(\overline x-e, \overline x+e)$
- 其中$e=t_{n-1,\alpha/2} \times \frac{s}{\sqrt{n}}$

## 母體變異數 $\sigma^2$ 的 $1-\alpha$ 信賴區間

- Recall

    $\frac{(n-1)S^2}{\sigma^2}\sim \mathcal{X}_{n-1}^2$

我們可以找到 $a, b$ 使得 $P(a<\frac{(n-1)s^2}{\sigma^2}<b)=1-
\alpha$ 然後就能得到$\frac{(n-1)s^2}{b}<\sigma^2<\frac{(n-1)s^2}{a}$，盡量要讓這個區間小，而等尾法是近似解，取 $a=\mathcal{X}_{n-1,1-\alpha/2}^2, b=\mathcal{X}_{n-1,\ \alpha/2}^2$
 信賴區間為$(\frac{(n-1)s^2}{\mathcal{X}_{n-1,\ \alpha/2}^2}, \frac{(n-1)s^2}{\mathcal{X}_{n-1,1-\alpha/2}^2})$

# 第九章 兩組樣本之檢定
## 變異數比值
$F=\frac{s_1^2/\sigma_1^2}{s_2^2/\sigma_2^2}$
檢查 $F_{1-\alpha/2,n_1-1,n_2-1}<F<F_{\alpha/2,n_1-1,n_2-1}$

## 兩組獨立樣本檢定($\sigma$已知)
### 信賴區間($\mu_1-\mu_2的1-\alpha信賴區間$)
$$
(\overline{x_1}-\overline{x_2}-e, \overline{x_1}-\overline{x_2}+e)
,e=Z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\alpha_1^2}{n_1}+\frac{\alpha_2^2}{n_2}}
$$

### 檢定問題
$$
z=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{\alpha_1^2}{n_1}+\frac{\alpha_2^2}{n_2}}}
$$
- 把這個z帶入母體標準差$\sigma$已知的平均檢定


## 兩組獨立樣本檢定($\sigma_1$, $\sigma_2$未知、有同質性)

### 綜合樣本變異數
$$
s^2_p=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}
$$

### 信賴區間
$$
(\overline{x_1}-\overline{x_2}-e, \overline{x_1}-\overline{x_2}+e)
,e=t_{n_1+n_2-2,\alpha/2}\cdot s_p\sqrt{1/n_1+1/n_2}
$$
### 檢定問題

| 型式 |統計量| 棄卻域 |
| -------- |-| -------- |
| 雙尾    |$t=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}}$| $\|t\| >t_{n_1+n_2-2,\alpha/2}$    |
| 左尾    |同上| $t < -t_{n_1+n_2-2,\alpha}$    |
| 右尾    |同上| $t >t_{n_1+n_2-2,\alpha}$    |

## 兩組獨立樣本檢定($\sigma_1$, $\sigma_2$未知、有異質性)

### 自由度
$$
k=\frac{(\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2})^2}{\frac{(\frac{S_1^2}{n_1})^2}{n_1-1}+\frac{(\frac{S_2^2}{n_2})^2}{n_2-1}}
$$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad$也可以取$k=Min(n_1-1, n_2-1)$

### 信賴區間
$$
(\overline{x_1}-\overline{x_2}-e, \overline{x_1}-\overline{x_2}+e)
,e=t_{k,\alpha/2}\cdot \sqrt{\frac{S_1^2}{n_1}+\frac{S_2^2}{n_2}}
$$

### 檢定問題

| 型式 |統計量| 棄卻域 |
| -------- |-| -------- |
| 雙尾    |$t=\frac{\overline{x_1}-\overline{x_2}}{\sqrt{\frac{s^2_1}{n_1}+\frac{s^2_2}{n_2}}}$| $\|t\| >t_{k,\alpha/2}$    |
| 左尾    |同上| $t < -t_{k,\alpha}$    |
| 右尾    |同上| $t >t_{k,\alpha}$    |

## 兩組獨立樣本變異數檢定

### 檢定問題
$H_0:\sigma_1^2=\sigma_2^2$

| 型式 |統計量| 棄卻域 |
| -------- |-| -------- |
| 雙尾    |$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}$|$F>F_{n_1-1,n_2-1,\alpha/2}$ 或 $F<F_{n_1-1,n_2-1,1-\alpha/2}$|
| 左尾    |同上| $F<F_{n_1-1,n_2-1,\alpha}$    |
| 右尾    |同上| $F>F_{n_1-1,n_2-1,\alpha}$    |

## 兩組成對樣本t檢定
### $\overline{x_1}-\overline{x_2}$的變異數
$$
Var(\overline{x_1}-\overline{x_2})=\sigma^2_{\overline{x_1}}+\sigma^2_{\overline{x_2}}-2\rho\sigma_{\overline{x_1}}\sigma_{\overline{x_2}}
$$
$\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\rho$是$X_{1i}, X_{2i}$的相關係數

### 檢定問題
- $\overline{d}=\frac{\sum d_i}{n}=\overline{x_1}-\overline{x_2}$
- $S_d=\overline{d}的標準差$

| 型式 |統計量| 棄卻域 |
| -------- |-| -------- |
| 雙尾    |$t=\frac{\overline{d}}{s_d/\sqrt{n}}$|$\|t\|>t_{n-1,\alpha/2}$|
| 左尾    |同上|     |
| 右尾    |同上|     |

# 第十章 比例問題的推論
## 一組大樣本比例推論
- $\hat{p}=\overline{X}=\frac{1}{n}\sum^n_{i=1} x_i$

### $p$的$1-\alpha$信賴區間

- $(\hat{p}-e, \hat{p}+e)$
- 其中$e=z_{\alpha/2}\cdot\sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}}$

### 檢定
| 型式 |統計量| 棄卻域 |
| -------- |-| -------- |
| 雙尾    |$z=\frac{\hat{p}-p_0}{\sqrt{p_0(1-p_0)/n}}$|$\|z\|>\|z_{\alpha/2}\|$|
| 左尾    |同上|  $z<-z_{\alpha}$   |
| 右尾    |同上| $z>z_{\alpha}$    |

## 樣本數決定
- 設定$e$決定樣本數
- $n=\frac{z_{\alpha/2}^2\cdot\hat{p}(1-\hat{p})}{e^2}$
- $\hat{p}未知，代入\hat{p}=0.5$

## 兩組大樣本比例推論

### $p_1-p_2$的$1-\alpha$信賴區間
- $(\hat{p}_1-\hat{p}_2-e,\hat{p}_1-\hat{p}_2+e)$
- $e=z_{\alpha/2}\sqrt{\frac{\hat{p}_1(1-\hat{p}_1)}{n_2}+\frac{\hat{p}_2(1-\hat{p}_2)}{n_2}}$
- $\overline{p}=\sqrt{\frac{n_1\hat{p}_1+n_2\hat{p}_2}{n_1+n_2}}$

### 檢定
| 型式 |統計量| 棄卻域 |
| -------- |-| -------- |
| 雙尾    |$z=\frac{\hat{p}_1-\hat{p}_2}{\sqrt{\frac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_1}+\frac{\overline{p}(1-\overline{p})}{n_2}}}$|$\|z\|>\|z_{\alpha/2}\|$|
| 左尾    |同上|  $z<-z_{\alpha}$   |
| 右尾    |同上| $z>z_{\alpha}$    |


# 第十一章 卡方檢定
## 資料適合度檢定
- k組分類的離散資料，驗證各組所佔比例($p_i$)是否符合某指定的比例($p_{i0}$)
### 卡方值
$$
\chi^2=\sum^k_{i=1}\frac{(o_i-e_i)^2}{e_i}
$$
- $o_i$表示觀察次數
- $e_i$表示期望次數
- 卡方查表的自由度是$k-1$, 顯著水準常常給0.05
- 查表$\chi^2_{k-1,0.05}$

### 連續型
用常態分配計算區間的期望次數

## 獨立性之檢定
### 交叉列表卡方值
$$
\chi^2=\sum^a_{i=1}\sum^b_{j=1}\frac{(o_{ij}-e_{ij})^2}{e_{ij}}
$$
- 卡方查表的自由度是$(a-1), (b-1)$

### 2X2交叉列表
$\chi^2=\frac{(a+b+c+d)(ad-bc)^2}{(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)}$

## Excel做資料獨立性檢定
CHITEST

# 第十二章 變異數分析
## 一因子模式
這是要檢測多組資料(水準、因子)分別的平均數是否一樣
| | 自由度 | 平方和 | 均方和 | F值 |
|-|-|-|-|-|
|組間$(B)$|$k-1$|$B=SSA=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}(\bar{y_i}-\bar{y})^2$|$B/(k-1)$|$\frac{B/(k-1)}{W/(N-k)}$|
|組內$(W)$|$N-k$|$W=SSE=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\bar{y_i})^2$|$W/(N-k)$|
|總和$(TO)$|$N-1$|$TO=SSTO=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}(y_{ij}-\bar{y})^2$|

$SSA+SSE=SSTO$
$SSA = \sum_{i=1}^kn_i\bar{y_i}^2-N\bar{y}^2$
$SSE=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}y_{ij}^2-\sum^k_{i=1}n_i\bar{y_i}^2$
$SSTO=\sum_{i=1}^k\sum_{j=1}^{n_i}y_{ij}^2-N\bar{y}^2$
解釋能力$R^2=\frac{SSA}{SSTO}$
- $N$是總樣本數
- $k$因子數
## 均值性檢定
檢測$k$組母體變異數是否相等
$H=\frac{Maxs_i^2}{Mins_i^2}$
查哈雷表$H_{k,n,\alpha}$，$k$是組數，$n$是樣本數的平均，$\alpha$是顯著水準

## 集區設計
就是希望比較不同因子的時候，可以去除掉在不同環境的變因，所以分成各個集區，相同集區中分不同因子。$y_{ij}$是代表第$i$個因子，第$j$個集區。$a$是因子數，$b$是集區數。
$SSA=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{b}(\bar{y_{i.}}-\bar{y})^2$
$SSB=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{b}(\bar{y_{.j}}-\bar{y})^2$
$SSE=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{b}(y_{ij}-\bar{y_{i.}}-\bar{y_{.j}}+\bar{y})^2$
$SSTO=\sum_{i=1}^a\sum_{j=1}^{b}(y_{ij}-\bar{y})^2$
$SSA+SSB+SSE=SSTO$
| | 自由度 | 平方和 | 均方和 | F值 |
|-|-|-|-|-|
|因子$(A)$|$a-1$|$SSA$|$MSA=SSA/(a-1)$|$\frac{MSA}{MSE}$|
|集區$(B)$|$b-1$|$SSB$|$MSB=SSB/(b-1)$|$\frac{MSB}{MSE}$
|殘差$(E)$|$(a-1)(b-1)$|$SSE$|$MSE=SSE/((a-1)(b-1))$
|總差$(TO)$|$N-1$|$SSTO$|

## 兩因子模式
有$a$個$A$變因，有$b$個$B$變因，每組裡有$r$個資料，分別檢測它們的主效用和交互作用是否顯著
$SSA=\sum\sum\sum(\overline{y}_{i..}-\overline{y})^2$
$SSB=\sum\sum\sum(\overline{y}_{.j.}-\overline{y})^2$
$SSAB=\sum\sum\sum(\overline{y}_{ij.}-\overline{y}_{i..}-\overline{y}_{.j.}+\overline{y})^2$
$SSE=\sum\sum\sum(y_{ijk}-\overline{y}_{ij.})^2$
| | 自由度 | 平方和 | 均方和 | F值 |
|-|-|-|-|-|
|因子$(A)$|$a-1$|$SSA$|$MSA=SSA/(a-1)$|$\frac{MSA}{MSE}$|
|因子$(B)$|$b-1$|$SSB$|$MSB=SSB/(b-1)$|$\frac{MSB}{MSE}$
|交互作用$(AB)$|$(a-1)(b-1)$|$SSAB$|$MSAB=SSAB/((a-1)(b-1))$|$\frac{MSAB}{MSE}$
|殘差$(E)$|$(r-1)ab$|$SSE$|$MSE=SSE/((r-1)ab)$
|總差$(TO)$|$N-1$|$SSTO$|

Excel就是直接雙因子變異數分析:重複試驗，然後設定每一樣本列數
![image](https://hackmd.io/_uploads/BkoQiJbSA.png =200x300)     ![image](https://hackmd.io/_uploads/BJefsk-H0.png =500x300)

# 第十三章 回歸分析
## 簡單線性回歸
$r=\frac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$
$y=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x$
$\hat{\beta}_1=r\frac{s_{y}}{s_{x}}=\frac{S_{xy}}{S_{xx}}$
$\hat{\beta}_0=\overline{y}-\hat{\beta}_1\overline{x}$
## 簡單線性回歸評估
$SSE=\sum(y_i-\hat{y}_i)^2$
$SSTO=S_{yy}$
$R^2=1-\frac{SSE}{SSTO}=r^2$
## 回歸模式統計推論
- 用$t$檢定 $\beta_1$
$\hat{\sigma}^2=\frac{SSE}{n-2}=MSE$
$\frac{\hat{\beta}_1-\beta_1}{\hat{\sigma}/\sqrt{S_{xx}}}\sim t_{n-2}$
- 用$F$檢定 $\beta_1=0$
$SSR=SSTO-SSE=\sum(\hat{y}_i-\overline{y})^2$

| | 自由度 | 平方和 | 均方和 | F值 |
|-|-|-|-|-|
|回歸|$1$|$SSR$|$MSR$|$\frac{MSR}{MSE}$|
|殘差|$n-2$|$SSE$|$MSE$||
|總和|$n-1$|
## 複回歸
$y=\hat{\beta}_0+\hat{\beta}_1x_1+\hat{\beta}_2x_2$

$\hat{\beta}_1=\frac{S_{22}S_{1y}-S_{12}S_{2y}}{S_{11}S_{22}-S_{12}^2}$

$\hat{\beta}_2=\frac{S_{11}S_{2y}-S_{12}S_{1y}}{S_{11}S_{22}-S_{12}^2}$

$\hat{\beta}_0=\overline{y}-\hat{\beta}_1\overline{x}_1-\hat{\beta}_2\overline{x}_2$

$SSE=\sum(y_i-\hat{y_i})^2$
$SSTO=\sum(y_i-\overline{y})^2$
$SSR=SSTO-SSE=\sum(\hat{y}_i-\overline{y})^2$
| | 自由度 | 平方和 | 均方和 | F值 |
|-|-|-|-|-|
|回歸|$2$|$SSR$|$MSR$|$\frac{MSR}{MSE}$|
|殘差|$n-3$|$SSE$|$MSE$||
|總和|$n-1$|