## Online Board for 2024 Fintech Final Exam

Q: 範例問題
A1: 範例答案
A2: 範例答案
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> 範例評論

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Q: Cash flow from IRR: Given two potential IRRs of 0.2 and -0.5, derive the minimum (in terms of L1
norm) 3-term cash flow of integers corresponding to these two IRRs. 想問這題是已知IRR=0.2及-0.5，回推可能的cash flow嗎? 這樣 cash flow 會有很多種可能性嗎？
> [name=R12944071 傅睿為] I think it's [10, -17, 6]，題目的意思是已知IRR=0.2及-0.5，回推可能的cash flow。
> [name=R12944071 傅睿為] 根據上課公式我們可以寫出：$NPV=a + \frac{b}{(1+r)}+\frac{c}{(1+r)^2}=0$，r帶入0.2以及-0.5，可得兩式
$(1) a + \frac{b}{1.2} + \frac{c}{1.44} = 0 => a + \frac{5}{6}b + \frac{25}{36}c = 0$
$(2) a + \frac{b}{0.5} + \frac{c}{0.25} = 0 => a + 2b + 4c = 0$
根據$(1)$可以知道 $a=\frac{-5}{6}b - \frac{25}{36}c$
根據$(2)$可以知道 $a=-2b - 4c$
合併兩式得 $\frac{-5}{6}b-\frac{25}{36}c = -2b - 4c$
整理移項一下 $\frac{7}{6}b = \frac{-119}{36}c => b = \frac{-17}{6}c$
題目說要integer，我們可以令$c=6，得b=-17$
接下來代回去就可以求$a=10$
L1 norm: $|10| + |-17| + |6| = 33$
Note: [-10, 17, -6] also works

> [nam=B09201029 宋景旭]
> $NPV = a + \frac{b}{(1+r)}+\frac{c}{(1+r)^2} = 0$
> 題目已給兩個給 $r = 0.2$ or $-0.5$，因此我們可以用兩個根反算 $a,b,c$ 可能的值，我們變數變換 $r' = 1+r$，所以題目會變成 $NPV = ar'^2 + br' + c = 0$ with roots $r' = 1.2$ or $0.5$。
> 那顯而易見，$a = 1, b = -(1.2+0.5) = -1.7, c = 0.5 * 1.2 = 0.6$，得知$NPV = r'^2 -1.7 r' + 0.6 = 0$，那我們的cashFlow就是前每個項前面的coefficient $[1 -1.7 0.6]$，我們要min. integer，所以答案則是[10, -17, 6]。

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Q: Max volume of an open cylinder: What is the maximum volume for a cylinder (no top) made from 12 square meters of cardboard? 想問這一題 解題的大方向大概可以怎麼想?
> [name=R12922221]
1. $\text{表面積：} A = 2\pi rh + \pi r^2 = 12$
2. $h = \frac{12 - \pi r^2}{2\pi r}$
3. $\text{體積：} V = \pi r^2 h$
4. 代入 h ，$V = \frac{1}{2}(12r - \pi r^3)$
5. V對r微分，$V'(r) = 6 - \frac{3\pi r^2}{2} = 0$
6. 當 $r = \sqrt{\frac{4}{\pi}}$，$v$有最大值
7. 將r代回v，$V = \frac{8}{\sqrt{\pi}}$
[name=P13922005] AM-GM解法
1. 體積： $v=\pi*r^2*h$
2. 面積： $\pi*r^2+2\pi*r*h=12 => r^2+2rh=\frac{12}{\pi}$
3. AM-GM：$\frac{r^2+rh+rh}{3}\ge\sqrt[3]{r^2*rh*rh}$
帶入$r^2+2rh=12$：$\frac{4}{\pi}\ge\sqrt[3]{r^2*rh*rh}$
兩邊3次方：$\frac{64}{\pi^3}\ge{r^2*rh*rh}$
同乘$\pi^2$：$\frac{64}{\pi}\ge{r^4*h^2*\pi^2}=v^2$
同取平方根：$\frac{8}{\sqrt{\pi}}\ge{v}$

> [name=R13944024] AM-GM解法(法二)
$$
V = r^2 \pi h
$$

$$
2r\pi h + r^2 \pi = 12
$$

$$
\frac{2r\pi h + r^2 \pi}{2} \geq \left( 2r\pi h \cdot r^2 \pi \right)^{\frac{1}{2}}\text{← 不好}
$$

$$
\frac{r\pi h + r\pi h + r^2 \pi}{3} \geq \left( r\pi h \cdot r\pi h \cdot r^2 \pi \right)^{\frac{1}{3}}\text{← 好}
$$

$$
64 \geq r^4 \pi^3 h^2
$$

$$
V^2 = r^4 \pi^2 h^2 \quad \text{← 小技巧}
$$

$$
64 \geq V^2 \pi
$$

$$
\frac{64}{\pi} \geq V^2
$$

$$
\frac{8}{\sqrt{\pi}} \geq V
$$

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課程內容補充提供
>[name=R12941069 王嬡婷] [time=2024/12/15]
> 關於考古題中提到的Performance index
> 以及 Performance indices of ASR的部分，我有找到張老師的授課內容，給大家參考~
> https://www.youtube.com/watch?v=PLIcsQ_23uw&list=PLwb75-SEfInnM9tPmiIU3B_R7CXhEvbKL&index=54