Online Board for 2024 Fintech Final Exam

Q: 範例問題
A1: 範例答案
A2: 範例答案
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範例評論

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Q: Cash flow from IRR: Given two potential IRRs of 0.2 and -0.5, derive the minimum (in terms of L1
norm) 3-term cash flow of integers corresponding to these two IRRs. 想問這題是已知IRR=0.2及-0.5，回推可能的cash flow嗎? 這樣 cash flow 會有很多種可能性嗎？

R12944071 傅睿為 I think it's [10, -17, 6]，題目的意思是已知IRR=0.2及-0.5，回推可能的cash flow。
R12944071 傅睿為 根據上課公式我們可以寫出：

$NPV=a+\frac{b}{(1+r)}+\frac{c}{(1+r{)}^2}=0$，r帶入0.2以及-0.5，可得兩式

$(1)a+\frac{b}{1.2}+\frac{c}{1.44}=0=>a+\frac{5}{6}b+\frac{25}{36}c=0$

$(2)a+\frac{b}{0.5}+\frac{c}{0.25}=0=>a+2b+4c=0$
根據

$(1)$可以知道

$a=\frac{-5}{6}b-\frac{25}{36}c$
根據

$(2)$可以知道

$a=-2b-4c$
合併兩式得

$\frac{-5}{6}b-\frac{25}{36}c=-2b-4c$
整理移項一下

$\frac{7}{6}b=\frac{-119}{36}c=>b=\frac{-17}{6}c$
題目說要integer，我們可以令

$c=6，\mathrm{得}b=-17$
接下來代回去就可以求

$a=10$
L1 norm:

$|10|+|-17|+|6|=33$
Note: [-10, 17, -6] also works

[nam=B09201029 宋景旭]

$NPV=a+\frac{b}{(1+r)}+\frac{c}{(1+r{)}^2}=0$
題目已給兩個給

$r=0.2$ or

$-0.5$，因此我們可以用兩個根反算

$a,b,c$ 可能的值，我們變數變換

$r^{\prime }=1+r$，所以題目會變成

$NPV=a{r}^{\prime 2}+b{r}^{\prime }+c=0$ with roots

$r^{\prime }=1.2$ or

$0.5$。
那顯而易見，

$a=1,b=-(1.2+0.5)=-1.7,c=0.5\ast 1.2=0.6$，得知

$NPV=r^{\prime 2}-1.7r^{\prime }+0.6=0$，那我們的cashFlow就是前每個項前面的coefficient

$[1-1.70.6]$，我們要min. integer，所以答案則是[10, -17, 6]。

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Q: Max volume of an open cylinder: What is the maximum volume for a cylinder (no top) made from 12 square meters of cardboard? 想問這一題 解題的大方向大概可以怎麼想?

R12922221
1.

$\text{表面積：}A=2\pi rh+\pi r^2=12$
2.

$h=\frac{12-\pi r^2}{2\pi r}$
3.

$\text{體積：}V=\pi r^{2}h$
4. 代入 h ，

$V=\frac{1}{2}(12r-\pi r^3)$
5. V對r微分，

$V^{\prime }(r)=6-\frac{3\pi r^2}{2}=0$
6. 當

$r=\sqrt{\frac{4}{\pi }}$，

$v$有最大值
7. 將r代回v，

$V=\frac{8}{\sqrt{\pi }}$
P13922005 AM-GM解法
1. 體積：

$v=\pi \ast r^2\ast h$
2. 面積：

$\pi \ast r^2+2\pi \ast r\ast h=12=>r^2+2rh=\frac{12}{\pi }$
3. AM-GM：

$\frac{r^2+rh+rh}{3}\ge \sqrt[3]{r^2\ast rh\ast rh}$
帶入

$r^2+2rh=12$：

$\frac{4}{\pi }\ge \sqrt[3]{r^2\ast rh\ast rh}$
兩邊3次方：

$\frac{64}{{\pi }^3}\ge r^2\ast rh\ast rh$
同乘

${\pi }^2$：

$\frac{64}{\pi }\ge r^4\ast h^2\ast {\pi }^2=v^2$
同取平方根：

$\frac{8}{\sqrt{\pi }}\ge v$

R13944024 AM-GM解法(法二)

$$V=r^2\pi h$$

$$2r\pi h+r^2\pi =12$$

$$\frac{2r\pi h+r^2\pi }{2}\ge {(2r\pi h\cdot r^2\pi )}^{\frac{1}{2}}\text{← 不好}$$

$$\frac{r\pi h+r\pi h+r^2\pi }{3}\ge {(r\pi h\cdot r\pi h\cdot r^2\pi )}^{\frac{1}{3}}\text{← 好}$$

$$64\ge r^4{\pi }^3{h}^2$$

$$V^2=r^4{\pi }^2{h}^2\text{← 小技巧}$$

$$64\ge V^2\pi$$

$$\frac{64}{\pi }\ge V^2$$

$$\frac{8}{\sqrt{\pi }}\ge V$$

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課程內容補充提供

R12941069 王嬡婷2024/12/15
關於考古題中提到的Performance index
以及 Performance indices of ASR的部分，我有找到張老師的授課內容，給大家參考~
https://www.youtube.com/watch?v=PLIcsQ_23uw&list=PLwb75-SEfInnM9tPmiIU3B_R7CXhEvbKL&index=54