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# 液体はなぜ球状になるか？

液体表面を最小化するように表面張力が働く．表面張力$F$は表面積$S$に比例しているとする．
\begin{eqnarray}
F = \sigma S
\end{eqnarray}

液体がどのような形状を取るかを予想するためには，単位体積あたりの表面積を最小化する図形がどのよう形であるかを考えれば良い．3次元で考えるとする．
$I$を次式のように定義する．
\begin{eqnarray}
I \equiv \frac{S}{V^{\frac{2}{3}}}
\end{eqnarray}
例えば，球であれば，
\begin{eqnarray}
I \equiv \frac{4\pi r^2}{\left(\frac{4\pi r^3}{3}\right)^\frac{2}{3}} = (4\pi)^\frac{1}{3}3^\frac{2}{3} \sim 4.83597585
\end{eqnarray}
\begin{eqnarray}
r = \sqrt[3]{\frac{3}{4\pi}V}
\end{eqnarray}
立方体
\begin{eqnarray}
I = \frac{6r^2}{r^2} = 6
\end{eqnarray}
直方体
\begin{eqnarray}
\frac{2(ab+bc+ca)}{(abc)^{\frac{2}{3}}} = 2\sqrt[3]{abc}\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\right) \geq 6
\end{eqnarray}

$I$を最小化するような条件が球であることを示す．
\begin{eqnarray}
I = \frac{\int_{}^{}r^2\sin\theta d\theta d\phi}{\int_{}^{}drr^2\int_{}^{}d\theta\sin\theta \int_{}^{}d\phi}
\end{eqnarray}