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title: 台大二階筆試-數學考古2019

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# 台大二階筆試-數學考古2019
## 2019台大電資
### 1.
#### 何者答案為3
#### (1)$\log_{5}{625}$ (2)$1211\times7725$除11餘數 (3)$\sqrt{2}sin\theta+cos\theta$最大值 
#### (4)過(0,0),(0,1),(1,1)圓面積 (5) P(3,4)到$x^2+y^2=2$最近距離
#### ans:
#### 自己算、(2)
### 2.
#### 下列何者與(2,1),(3,3)無法構成等腰三角形
#### (1) (0,0) (2) (1,2) (3) (1.5,2.5) (4) (4,5) (5) (5,2)
#### ans:
#### 同一條線、(4)
### 3.
#### $S:(x-1)^2+(y-2)^2+(z-3)^2\le 25$，下列何者錯誤
#### (1)表面積$100\pi$ (2) (6,6,6)距球面>2 (3) (0,0,0)距球面<2
#### (4)$L:\frac{x-5}{3}=\frac{y-5}{-4}=\frac{z-3}{1}$與球面相切 (5)$L:\frac{x-5}{3}=\frac{y-5}{4}=\frac{z-3}{1}$與球面相切
#### ans:
#### 設參數式計算當圓心到線為垂直時距離為多少，恰為半徑則相切，答案為(5)
### 4.
#### $cos3\theta=?$
#### (1) $cos2\theta cos\theta+sin2\theta sin\theta$ (2) $cos2\theta sin\theta-sin2\theta sin\theta$ (3)$cos^2\theta-tan\theta$
#### (4) $cos2\theta cos\theta-sin2\theta sin\theta$ (5) $cos2\theta cos\theta+sin^2\theta cos\theta$
#### ans:
#### (4)
### 5.
#### 下列哪個最大
#### (1)$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^n}{3^{n-1}}$ (2)$8sin60^{\circ}$ (3)(2020+31456)除7餘數 
#### (4)$10cos45^{\circ}$ (5)$\log_{2}{115}$
#### ans:
#### (1)6 (2)$4\sqrt{3}$ (3)<7 (4)$5\sqrt{2}$ (5)6...,答案為(4)
### 6.
#### 下列敘述哪些正確
#### (1)$A=\begin{bmatrix}0&-1 \\1&0\end{bmatrix},A^{2}+I=0。det(xI-A)=\begin{vmatrix}x&1 \\-1&x\end{vmatrix}=x^{2}+1$
#### 由Cayley-Hamilton定理可知正確
#### (2)$A=\begin{bmatrix}cos\theta&-sin\theta \\sin\theta&cos\theta\end{bmatrix},A^{2}-2cos\theta A+I=0。det(xI-A)=\begin{vmatrix}x-cos\theta &sin\theta  \\-sin\theta &x-cos\theta \end{vmatrix}=x^{2}-2cos\theta x+1$
#### 後面選項做法一樣
### 7. 
#### $\frac{3-cos\theta}{2+sin\theta}$最大值為$a+\frac{\sqrt{b}}{3},a、b$為整數,則a+b除5的餘數為何
#### ans:
#### 設所求$y、x=sin\theta\longrightarrow y=\frac{3-\sqrt{1-x^2}}{2+x}\longrightarrow (y^2+1)x^2+(4y^2-6y)x+(4y^2-12y+8)=0$
#### x有解,$b^2-4ac\ge0\longrightarrow 3y^2-12y+8\le0\longrightarrow y\le2+\frac{\sqrt{12}}{3},2+14\equiv4(mod5)$
### 8.
#### $\alpha=\frac{1-\sqrt{3}i}{2},\beta=\frac{1+i}{\sqrt{2}},|t\alpha^{2018}+(1-t)\beta^{2018}|$最小值為$\sqrt{\frac{a+b\sqrt{2}+c\sqrt{6}}{4\sqrt{2}}},$求a+b+c除5餘數
#### ans:
#### 由隸美孚可得$|\frac{-1}{2}t+(1-(1+\frac{\sqrt{3}}{2})t)i|=\sqrt{(2+\sqrt{3})t^2-(2+\sqrt{3})t+1}$
#### 最小值為$\sqrt{\frac{2\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4\sqrt{2}}},a+b+c\equiv1(mod5)$
### 9.
#### $f_a(x)=a^x,a\ge1,f_a^{(n)}(x)=f_a。f_a。...f_a(x),$下列哪些正確
#### (1)$x\ge0,,N\ge n$則$f_a^{(n)}(x)\ge f_a^{(n)}(x)$ 
#### (2)$a=\sqrt{2},x=1,f_a^{(n)}(x)$收斂 (3)$a=\sqrt{2},x=3,f_a^{(n)}(x)$收斂 
#### (4)$a=\sqrt{2},x=5,f_a^{(n)}(x)$收斂 (5)$a=\frac{3}{2},x=1,f_a^{(n)}(x)$收斂
#### ans:
#### (1)$\sqrt{2}^3>\sqrt{2}^{\sqrt{2}^3}$
#### (2)-(5)由$y=\sqrt{2}^x、y=x$的圖形來看，x=1、3迭代會收斂到2，而x=5會發散
#### $y=1.5^x、y=x$無交集，迭代後會發散，故答案(2)(3)
### 10.
#### $f(\theta)=\begin{cases}1,sin\theta>0\\0,sin\theta=0 \\-1,sin\theta<0 \end{cases}$，下列哪些正確
#### (1)有x使得(f(x),f(2x),f(3x),f(4x))=(1,1,-1,-1) (2)有x使得(f(x),f(2x),f(3x),f(4x))=(1,1,-1,1)
#### (3)有x使得(f(x),f(2x),f(3x),f(4x))=(1,-1,1,0) (4)有x使得(f(x),f(2x),f(3x),f(4x))=(-1,-1,1,0)
#### (5)有x使得(f(x),f(2x),f(3x),f(4x))=(1,-1,1,-1)
#### ans:
#### 分case討論後可得到(1)(3)(5)符合
