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title: 台大二階筆試-數學考古2017

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# 台大二階筆試-數學考古2017
## 2017台大電機
### 1.
#### $\overrightarrow{a}、\overrightarrow{b}、\overrightarrow{c}$為長度1的空間向量,$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\overrightarrow{b}\cdot\overrightarrow{c}=0$,求$\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{c}$所有可能值
#### ans:
#### 條件僅b垂直a、c,其值可界於-1到1之間
### 2.
#### 一長方體長寬高和為24，體積最大最小值?
#### ans:
#### max:512 min:doesn't exist
### 3.
#### $\left\{\begin{matrix} (3-k)x_1+0x_2+0x_3+0x_4=0\\ 0x_1+(2-k)x_2+0x_3+0x_4=0\\ 0x_1+0x_2+(2-k)x_3+1x_4=0\\ 0x_1+0x_2+3x_3+(4-k)x_4=0\end{matrix}\right.$,有無限多組解,k可為?
#### ans:
#### $(3-k)\begin{bmatrix}2-k& 0 & 0\\0&  2-k&1 \\0& 3 &4-k\end{bmatrix}=(k-1)(k-2)(k-3)(k-5)$
#### k可為1、2、3、5
### 4.
#### $\begin{bmatrix}x'\\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}cos\frac{\pi}{4}&  -sin\frac{\pi}{4}\\sin\frac{\pi}{4}&cos\frac{\pi}{4} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}x\\y\end{bmatrix}+\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$,(x,y)為對角頂點在(0,0)、(2,1)的長方形,求(x',y')圖形
#### ans:
#### 自己加自己轉
#### 頂點$(0,1)、(\sqrt{2},\sqrt{2}+1)、(\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{3\sqrt{2}}{2}+1)、(-\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}+1)$的長方形
### 5.
#### 球面$x^2+y^2+(z-1)^2=1$、地面z=0,一光源(0,0,3)照向球面,問地面陰影方程式?
#### 一光源$(\infty,0,\infty)$照向球面,問地面陰影方程式?
#### ans:
#### 透過相似形可得到陰影為以原點為圓心，半徑為$\sqrt{3}$的圓，答案為$x^2+y^2\le3$
#### 另一光源可想成兩線皆對地面夾45度並切圓所產生的橢圓，平行y軸不變，透過三角函數可得平行x軸其半軸長為$\sqrt{2}$、中心點(-1,0,0)，答案為$\frac{(x+1)^2}{2}+y^2\le1$
### 6. 
#### (0,0)出發，走右或上，由捷徑走到(n,n)，若每條路徑機率相同，(0,0)經(a,a)到(n,n)的機率?(0,0)不經(a,a)及(b,b)到(n,n)的機率(b>a)?若每個岔路機率相同，則(0,0)不經(a,a)到(n,n)的機率?
#### (1)右及上排列、$\frac{C^{2a}_{a}C^{2n-2a}_{n-a}}{C^{2n}_{n}}$(2)排容原理、$\frac{C^{2n}_{n}-C^{2a}_{a}C^{2n-2a}_{n-a}-C^{2b}_{b}C^{2n-2b}_{n-b}+C^{2a}_{a}C^{2b-2a}_{b-a}C^{2n-2b}_{n-b}}{C^{2n}_{n}}$
#### (3)上右機率皆0.5、$1-\frac{C^{2a}_{a}}{2^{2a}}$
### 7. 
#### 已知$(1+\frac{1}{n})^n<e$，利用數學歸納法證明$1+\frac{1}{2}+...+\frac{1}{n}\ge ln(n+1)$
#### ans:
#### 由條件$nln(1+\frac{1}{n})<1\longrightarrow \frac{1}{n}>ln(\frac{n+1}{n})=ln(n+1)-ln(n)$
#### n=2時顯然成立，設n=k時成立
#### 則n=k+1時,$ln(k+1)+ln(k+2)-ln(k+1)<1+\frac{1}{2}+...\frac{1}{k}+\frac{1}{k+1}$亦成立，故得證
### 8.
#### 1元郵票1種、2元郵票2種，排成一列，$a_n$為n元郵票排法數(順序不同為不同)
#### 求$a_n$遞迴式?P為二階方陣、$\begin{bmatrix}a_n\\a_{n-1}\end{bmatrix}=P\begin{bmatrix}a_{n-1}\\a_{n-2}\end{bmatrix}$，P=?
#### $Q=\begin{bmatrix}2&1\\1&-1\end{bmatrix},Q^{-1}=?，P=QRQ^{-1}，R=?,a_n$一般式為何?
#### ans:
#### (1)$a_n=a_{n-1}+2a_{n-2},a_1=1,a_2=3$(2)$P=\begin{bmatrix}1&2\\1&0\end{bmatrix}$(3)$\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{-2}{3}\end{bmatrix}$(4)$\begin{bmatrix}2&0\\0&-1\end{bmatrix}$
#### (5)$\begin{bmatrix}2&1\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2^{n-2}&0\\0&(-1)^{n-2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{-2}{3}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_n\\a_{n-1}\end{bmatrix},a_n=\frac{1}{3}(-1)^n+\frac{2}{3}2^n$