# 台大二階筆試-數學考古2021
## 2021台大電資
### 1.
#### $y=2x+1$經$\begin{bmatrix}x' \\y'\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}3&a \\b&7\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x \\y\end{bmatrix}$變換後重合，求a+b
#### ans:
#### $\begin{cases}3x+2ax+a=x'\\bx+14x+7=2x'+1\end{cases}\longrightarrow \begin{cases}a=3\\b=4\end{cases}$
### 2.
#### 有染病檢測為染病$2s-s^{2}$，無染病檢測為無染病$1-s$，染病佔$\frac{4}{5}$，s界在0到1
#### 求P(有病被測有病)+P(無病被測無病)最大值
#### ans:
#### $\frac{4}{5}(2s-s^{2})+\frac{1}{5}(1-s)$配方得最大可為$\frac{13}{16}$
### 3.
#### 在$4x+y\le 9，x+2y\ge 4，2x-3y\ge -6$區域中，求$x^{2}+y^{2}$最大最小值
#### ans:
#### 依照畫出的圖形，最大應在$4x+y=9$上、最小應在$x+2y=4$上
#### $x^{2}+(9-4x)^{2}$配方可得x=3時有最大$\frac{45}{4}$、$x^{2}+(2-\frac{x}{2})^{2}$配方可得x=$\frac{4}{5}$時有最小$\frac{16}{5}$
### 4.
#### $x2^{x}=t$有解$x=f(t)$，今已知$(\frac{1}{4})^{x}=2x+4$，其解為$x=\frac{f(a)}{2}-2$，求a
#### ans:
#### 帶入解$16\times 2^{-f(a)}=f(a)\longrightarrow f(a) 2^{f(a)}=16$，得a=16
### 5.
#### $z=9^{x}+3^{y}、2x+y=4$，求z最小值
#### ans:
#### $3^{2x}+3^{y}\ge 2\sqrt{3^{2x+y}}=18$
### 6.
#### 求$\frac{1}{3}+2(\frac{1}{3})^{2}+3(\frac{1}{3})^{3}+...$
#### ans:
#### 令S=$\frac{1}{3}+2(\frac{1}{3})^{2}+3(\frac{1}{3})^{3}+...$
#### $\frac{1}{3}S=0+(\frac{1}{3})^{2}+2(\frac{1}{3})^{3}+...$
#### 兩式相減得$\frac{2}{3}S=\frac{\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}，S=\frac{3}{4}$
### 7.
#### $a_{1}=1,a_{2}=3,a_{n+2}=3a_{n+1}-7a_{n}$，則前1000項有幾項為10的倍數
#### ans:
#### 可寫成$a_{n+2}=10a_{n+1}-7(a_{n+1}+a_{n})\equiv -7(a_{n+1}+a_{n})(mod 10)$
#### 可以注意到對mod10來說+3跟-7是一樣的，並可發現其為12個1循環，答案為83個
#### 1 3 -8 5 1 -2 7 -5 -4 3 7 0 1 -7此為前幾項
### 8.
#### $A_{n}=(x_{n},y_{n})、A_{1}=(2,1)，n$為奇數$r_{n}=\sqrt{(x_{n}-1)^{2}+(y_{n}-1)^{2}}，x_{n+1}=\frac{x{n}-1}{r_{n}}+1$，y亦同
#### $n$為偶數$r_{n}=\sqrt{(x_{n}-1-\sqrt{2})^{2}+(y_{n}-1-\sqrt{2})^{2}}，x_{n+1}=\frac{x{n}-1-\sqrt{2}}{r_{n}}+1+\sqrt{2}$，y亦同
#### $A_{n}$最後收斂到(a,b)，求$a+b-\sqrt{2}$
#### ans:
#### 設$P(1,1),Q(1+\sqrt{2},1+\sqrt{2})$
#### 可將遞迴式簡化為$\overrightarrow{OA_{n+1}}=\frac{\overrightarrow{PA_{n}}}{|\overrightarrow{PA_{n}}|}+\overrightarrow{OP}\longrightarrow\overrightarrow{PA_{n+1}}=\frac{\overrightarrow{PA_{n}}}{|\overrightarrow{PA_{n}}|}$，Q亦然
#### 可看出點會變成跟P及Q的單位向量，最後平衡於PQ中點，故可得所求為2
### 9.
#### A維持A狀態機率$\frac{3}{4}$，變B狀態$\frac{1}{4}$
#### B維持B狀態跟變A狀態機率均為$\frac{1}{2}$，求很久以後為A狀態機率為何
#### ans:
#### $\begin{bmatrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{2} \\\frac{1}{4}&\frac{1}{2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}A\\B\end{bmatrix} \longrightarrow \begin{cases}A+B=1\\ \frac{3}{4}A+\frac{1}{2}B=A\end{cases} \longrightarrow A=\frac{2}{3}$
### 10.
#### 投公正硬幣，若正甲給乙1元，若反則乙給甲。甲有n元，乙有N-n元，求甲輸光的機率
#### ans:
#### 搜尋投硬幣、遞迴或醉漢走路
#### 令$a_{k}=\frac{1}{2}a_{k+1}+\frac{1}{2}a_{k-1}$為甲獲勝機率$\longrightarrow x^{2}-2x+1=0$
#### 可假設$a_{k}=\alpha k(1)^{k}$，又$a_{0}=0、a_{N}=1$，得$a_{k}=\frac{k}{N}$
#### 今甲有n元，故勝率為$\frac{n}{N}$、敗率為$\frac{N-n}{N}$
### 11.
#### $P(a,b),Q(c,d),d(P,Q)=|a-c|+|b-d|$
#### $d(P,O)=d(P,A),|x|<5,|y|<5$的圖形線段長多少、面積多少
#### ans:
#### 通靈 過(0,1)、(-5,5)的長方形與過(1,0)、(5,-5)的長方形，面積共40
#### 過(1,0)、(0,1)的線段，長$\sqrt{2}$
### 12.
#### 骰公正骰子6次點數分別為$X_{1}、X_{2}、X_{3}、X_{4}、X_{5}、X_{6}$
#### $X_{1}+X_{2}+X_{3}-X_{4}-X_{5}-X_{6}=14$機率為$\frac{a}{6^{6}}$，則a=?
#### ans:
#### 前3個和17後3個和3、前3個和18後3個和4，各3種可能，a=6
### 13.
#### 甲乙丙丁入10節車廂，不同車不相鄰有幾種排法
#### ans:
#### 7個車廂為最小滿足車廂數，4人有5間隙可塞3車廂
#### 意同a+b+c+d+e=3非負整數解，方法數$24\times H^{5}_{3}=24\times C^{7}_{3}=840$
### 14.
#### 搜尋楊表 4,2,1
#### ans:
#### $\frac{7!}{6\times4\times3\times2\times1\times1\times1}=35$
### 15.
#### 在$x\ge0、y\ge0、xy\le1$區域內滿足一點在x軸、一點在y軸、一點在xy=1所構成三角形最大面積?
#### ans:
#### 可想而知，過xy=1切線的面積最大，且過切線面積皆為2
#### 又題目要求兩點須分別在兩軸，故最大面積為一點在原點的三角形、面積為1
### 16.
#### $x_{1}=1,x_{n+1}=2x_{n}+n,x_{2021}=\alpha2^{\beta}+\gamma,\alpha$為奇數,求$\alpha+\beta+\gamma$
#### ans:
#### 展開可得
#### $x_{n}=2^{n-1}+2^{n-2}\times1+2^{n-3}\times2+...+2^{0}\times(n-1)$
#### $2x_{n}=2^{n}+2^{n-1}\times1+2^{n-2}\times2+...$
#### 相減為$x_{n}=3\times2^{n-1}-n-1$
#### 可得$x_{2021}=3\times2^{2020}-2022$