# 台大二階筆試-數學考古2016
## 2016台大電機
### 1.
#### 兩點連線機率p，當有一點與其他無連線稱其為孤點
#### 證明有n點時至少有一孤點機率$\le n(1-p)^{n-1}$?
#### $p=\frac{\alpha ln(n)}{n}(\alpha >1),n$個點完全無孤點機率極限值為何
#### ans:
#### 第一點為孤點機率$(1-p)^{n-1}$
#### 第一點或第二點或...為孤點機率小於第一點機率+第二點機率+...$=n(1-p)^{n-1}$
#### $lim_{x \to \infty}(1-n(1-p)^{n-1})=1-\lim_{x \to \infty}n(1-\frac{\alpha ln(n)}{n})^{n-1}=1-\lim_{x \to \infty}n(1+\frac{-\alpha \frac{n-1}{n}ln(n)}{n-1})^{n-1}$
#### $=1-\lim_{x \to \infty}ne^{-\alpha \frac{n-1}{n}ln(n)}=1-\lim_{x \to \infty}n^{1-\alpha \frac{n-1}{n}}=1-0=1(\alpha>1)$
#### $\lim_{x \to \infty}1\ge\lim_{x \to \infty}P\ge lim_{x \to \infty}(1-n(1-p)^{n-1})\longrightarrow$極限值為1
### 2.
#### 令$C_n$為n種不同顏色分組種類數$C_1=1,C_2=2,C_0=0,C_n=?$(用$C_{n-1}、C_{n-2}...$表示),$C_7=?$
#### ans:
#### 第n個自己一組$C_{n-1}$、第n個選n-1其中一個一組$C^{n-1}_1C_{n-2}...$
#### $C_n=C_{n-1}+C^{n-1}_1C_{n-2}+C^{n-2}_2C_{n-3}+...C^{n-1}_{n-2}C_{1}+1$
#### $C_7$分組討論可得1組1種，2組63種，3組301種、4組350種、5組140種、6組21種、7組1種，共877
### 3.
#### 怎麼用筆和量角器判斷圓錐曲線
#### ans:
#### 正交弦長為4倍焦距為拋物線
#### 利用橢圓與雙曲線的性質，兩焦點對曲線上一點的切線垂直線為兩焦對此點的角平分線
#### 可依此作圖判斷垂直線的方向與開口方向以得到是橢圓或雙曲
### 4.
#### (x,y)為單位圓上一點，求使ax+by+c>0充要條件
#### ans:
#### $asin\theta+bcos\theta+c=\sqrt{a^2+b^2}(sin(\theta+\alpha))+c>0$
#### 則當$c>\sqrt{a^2+b^2}$此式必成立
### 5.
#### $x^2+y=0,0<a<1,$證明$\log_{a}{(a^{2x}+a^y)}<\frac{1}{2}+\log_{a}{2}$
#### ans:
#### 右式:$\log_{a}{2a^{\frac{1}{2}}}\longrightarrow a^{2x}+a^y>2\sqrt{a}(0<a<1)$
#### $a^{2x}+a^y\ge 2\sqrt{a^{2x+y}}=2\sqrt{a^{2x-x^2}}=2\sqrt{a^{-(x-1)^2+1}}\ge 2\sqrt{a}$
### 6.
#### $a_1=1,a_2=4,\sqrt{a_{n}a_{n-2}}=2\sqrt{a_{n-1}a_{n-2}}+pa_{n-1},a_n$一般式?
#### ans:
#### $b_n=\sqrt{a_n}\longrightarrow\frac{b_n-b_{n-1}}{b_{n-1}}=\frac{b_{n-2}+pb_{n-1}}{b_{n-2}},c_n=\frac{b_n}{b_{n-1}}\longrightarrow c_n-1=1+pc_{n-1}$
#### $c_{n}+\frac{2}{p-1}=p(c_{n}+\frac{2}{p-1}),d_n=c_{n}+\frac{2}{p-1}\longrightarrow d_n=pd_{n-1}=p^{n-2}(2+\frac{2}{p-2})$
#### $c_n=\frac{2p^{n-1}-2}{p-1}\longrightarrow b_n=b_{n-1}\times\frac{2p^{n-1}-2}{p-1}=\frac{2p^{n-1}-2}{p-1}\frac{2p^{n-2}-2}{p-1}\frac{2p^{n-3}-2}{p-1}...\frac{2p-2}{p-1}$
#### $a_n=[\frac{2^{n-1} \prod_{k=2}^{n-1} (p_k-1)}{(p-1)^{n-2}}]^2(p\ne1)$
#### $c_n=c_{n-1}+2=c_{2}+(n-2)2=2n-2$
#### $b_n=c_nb_{n-1}=(2n-2)(2n-4)...$
#### $a_n=[2^{n-1}(n-1)!]^2$
### 7.
#### $S_n=\frac{n(n+1)}{2},a_n$為其十位數$,b_n$為其個位數，證明$0.a_1b_1a_2b_2...$為有理數
#### ans:
#### 可稍微加總得b20一循環、a200一循環，循環小數為有理數