# 台大二階筆試-數學考古2022
## 2022台大電資
### 1.
#### 投印幣，正面與反面次數相差三次停止，已知結束正面比反面多三次，求第一次反面機率
#### ans:
#### 設正比反多三次機率P，一開始反面可為反正P、反反正正P、反反正反正正P...
#### 機率為$\frac{\frac{1}{4}P+\frac{1}{16}P+...}{P}=\frac{1}{3}$
#### 另解:
#### 等同在一數線上從0開始往左右機率均等，3或-3停止,$a_k$為最後到3停止的機率
#### 可由遞迴式$a_k=\frac{1}{2}a_{k+1}+\frac{1}{2}a_{k-1}$得出$a_k=\alpha+k\beta$
#### $a_{-3}=0,a_3=1\longrightarrow a_k=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}k\longrightarrow P=\frac{\frac{1}{2}a_-1}{a_0}=\frac{1}{3}$
### 2.
#### 一區域可任意走、一區域僅能鉛直水平走，求最短路徑
#### ans:
#### 將任意走的看成一矩形得斜邊長再加水平鉛直和
### 3.
#### 數列1，2，2，3，3，3...求第2022項
#### ans:
#### $\frac{63\times64}{2}<2022$，為64
### 4.
#### $A(0,0,6),B(0,0,20),P(x,y,0),0\le x\le15,0\le y\le15,\angle APB\ge 30^{\circ}$,求P點軌跡面積
#### ans:
#### 為兩$\frac{1}{4}$圓交正方形的面積,設半徑x
#### $\frac{\frac{20}{x}-\frac{6}{x}}{1+\frac{20}{x}\frac{6}{x}}=\frac{1}{\sqrt{3}}\longrightarrow x=4\sqrt{3}、10\sqrt{3}$
#### $Area=5\sqrt{3}\times15\times\frac{1}{2}\times2-(4\sqrt{3})^{2}\pi\times\frac{1}{4}+(10\sqrt{3})^{2}\pi\times\frac{1}{12}=75\sqrt{3}+13\pi$
### 5.
#### 1到30取相異3數，順序不同為同種，求3數和為30的倍數的取法有幾種
#### ans:
#### $\frac{H^{3}_{27}-1-13\times3}{3!}+\frac{H^{3}_{57}-3H^{3}_{27}-1-14\times3}{3!}=61+75=136$
### 6.
#### 一人在2，+1機率為$\frac{2}{3}$，-1機率為$\frac{1}{3}$，到0或無限大時停止，求停在無限大的機率
#### ans:
#### $a_{k}=\frac{2}{3}a_{k+1}+\frac{1}{3}a_{k-1}\longrightarrow a_{n}=\alpha(\frac{1}{2})^{n}+\beta(1)^{n}$
#### $a_{N}=1,a_{0}=0\longrightarrow a_{k}=\frac{1}{(\frac{1}{2})^{N}-1}(\frac{1}{2})^{k}+\frac{1}{1-(\frac{1}{2})^{N}},k=2,a_{2}=\frac{3}{4}$
### 7.
#### 等比數列前四項和$S_{4}$，前八項和$S_{8}$，$10S_{4}=S_{8}$，求公比
#### ans:
#### $10\times(r^{4}-1)=r^{8}-1\longrightarrow r^{4}=9、1\longrightarrow r=-1、\sqrt{3}、-\sqrt{3}$
### 8.
#### 麻煩的格子題
#### ans:
#### 一些觀察
### 9.
#### 動點$(2cos(t-\frac{\pi}{3}),cos(t+\frac{\pi}{6})),0\le t\le \pi$，求動點與圓點最大最小值
#### ans:
#### 動點也為$(2cos(t-\frac{\pi}{3}),-sin(t-\frac{\pi}{3}))$，為一橢圓部分，最大值為長軸2,最小值為短軸1
### 10.
#### $L:2x-8=-2y+4=z-4,S:(x-2)^2+(y-2)^2+(z-2)^2=2$，E包含直線L且與S球面相切，求E平面方程式
#### ans:
#### L斜向量(1,-1,2)且過(4,2,4)，此點與球心向量為(-2,0,-2)，可由內積、球心與L距離為2得知E法向量(-1,-1,0)，得E:x+y-6=0
### 11.
#### 函數$x^2+(y-2)^2+(z+4)^2+|x|+|y|+|z|$有最小值時$x、y、z$為何
#### ans:
#### 顯然$x=0,y>0,z<0$
#### $x^2+y^2-3y+4+z^2+7y+16$最小時,$x=0,y=\frac{3}{2},z=\frac{-7}{2}$
### 12.
#### $f(x,y)=x^2y+4x^2+xy+11x+1$
#### $h(x,y)=2x^5y+10x^5-x^4y-5x^4+9x^3+2x^2y+15x^2+xy+17x+2$
#### $y=k,h(x,k)=q(x)f(x,k),q(x)$為整係數多項式,求k
#### ans:
#### $\frac{2k+10}{4+k}$為整數，k可為-6、-5、-3、-2，帶入可得k=-6
### 13.
#### $y=2x-3x^3、y=c、x=0$圍的兩塊面積相同，求c?
#### ans:
#### 設交點$x_1、x_2$，則$x_1c-(x_1^2-\frac{3}{4}x_1^4)=x_2^2-\frac{3}{4}x_2^4-x_1^2+\frac{3}{4}x_1^4-(x_2-x_1)c$
#### 且由$2x_2-3x_2^3=c$可得$\frac{9}{4}x_2^4-x_2^2=0\longrightarrow x_2=\frac{2}{3}、c=\frac{4}{9}$
### 14.
#### 有幾個整數n使得$f(n)=n^3-7n+9$為質數
#### ans:
#### 可窮舉出3個解1,2,-3,並推出$n>-4$
#### $n=3k$帶入可得$f(n)\equiv0(mod3),3k+1、3k+2$同理
### 15.
#### 隨機變數X為1-10，求X變異數最大值
#### ans:
#### 都取0和10，其值為$\frac{5^2+5^2}{2}=25$
### 16.
#### 六圓半徑均r在同一線上，頭尾兩圓內公切線L與右邊第二個圓交兩點BC，求$\overline{BC}$
#### ans:
#### 由相似形可知右邊第二圓心與$\overline{BC}$中點距離為$\frac{3}{5}r$，可得$\overline{BC}=\frac{8}{5}r$