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title: 台大二階筆試-數學考古2014

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# 台大二階筆試-數學考古2014
## 2014台大電機
### 1.
#### 16隊比賽，單淘汰制，A隊碰B隊勝率三成、碰其他勝率八成，其他隊各自比賽均五成勝率，已知A與B在冠軍戰前不會相遇，求A擊敗B得冠軍機率?
#### ans:
#### $(\frac{4}{5})^3(\frac{1}{2})^3(\frac{3}{10})=\frac{12}{625}$
### 2.
#### $x^2-4xy+4y^2+10x-11=0$圖形為何?
#### ans:
#### 原式可設為$(ax+by+c)^2-k(bx-ay+d)=0$
#### 可求得$a=1,b=-2,c=1,d=-3,k=4$
#### 推出圖形為一對稱軸在$x-2y+1=0$，頂點交於$2x+y-3=0$，焦距為$\frac{1}{\sqrt{5}}$的拋物線
#### 另解可設$x=cos\theta x-sin\theta y,y=sin\theta x+cos\theta y$並標準化消去xy項，可得一拋物線旋轉一銳角
### 3.
#### 矩陣題
#### ans:
#### 照著填
### 4.
#### $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}+...\frac{1}{x_n^2}=1,x_1...x_n$均為正整數
#### (1)求證n=2無解(2)n=5無解
#### (3)已知n=3無解且$\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\frac{1}{9}+\frac{1}{36}=1$，求有解之n值
#### ans:
#### 前兩小題可由窮舉說明
#### $\frac{1}{4n}=\frac{1}{9n}+\frac{1}{9n}+\frac{1}{36n}$可多出兩個，$\frac{1}{n}=\frac{1}{4n}+\frac{1}{4n}+\frac{1}{4n}+\frac{1}{4n}$可多出三個
#### 可得n=2,3,5以外均有解
### 5.
#### 數列 $a_{1}=\sqrt{12},a_{2}=\sqrt{12+\sqrt{12}}...$ 試證有上界並求極限
#### ans:
#### $a_{1}<4$,設$a_{k}<4$成立，則$a_{k+1}=\sqrt{12+a_{k}}<\sqrt{12+4}=4$，極限值為4
### 6.
#### 三角形ABC內部一點P，P位於哪裡時與三頂點連線和最大?最小?
#### ans:
#### 最小時參考費馬點，最大時參考以下證明[https://www.sohu.com/a/135412480_649577]
