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title: 台大二階筆試-數學考古2020

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# 台大二階筆試-數學考古2020
## 2020台大電資
### 1.
#### $\frac{2}{3}、\frac{2}{9}、\frac{4}{9}、\frac{6}{9}、\frac{8}{9}、\frac{2}{27}、\frac{4}{27}、\frac{6}{27}...$前50項和
#### ans:
#### $\frac{2}{3}+\frac{20}{9}+\frac{182}{27}+\frac{1056}{81}=\frac{68}{3}$
### 2. 
#### $\angle AOB=60^\circ,\angle BOC=30^\circ,\overline{OA}+\overline{OB}+\overline{OC}=30,求OABC$三角錐最大體積
#### ans:
#### 體積為$\frac{1}{3}\times\frac{1}{2}\times\overline{OA}\times\overline{OB}\times sin60^\circ\times\overline{OC}\times sin30^\circ$
#### $\frac{\sqrt{3}}{24}\times 1000=\frac{\sqrt{3}}{24}\times (\frac{30}{3})^{3} \ge$體積，最大為$\frac{125\sqrt{3}}{3}$
### 3.
#### $a_{1}=1,a_{n}=\frac{1}{2}(a_{n-1}+\frac{2}{a_{n-1}}),\lim_{n \to \infty}a_{n}=?$
#### ans:
#### 收斂值$a_{k}=\frac{a_{k}^{2}+2}{2a_{k}}\longrightarrow a_{k}=\sqrt{2}$
### 4. 
#### $f(x)=x^{3}+ax^{2}+bx+1,g(x)=x^{2}+x+1$兩函數不互質,求a+3b
#### ans:
#### $f(x)=(x^{2}+x+1)(x+1)\longrightarrow a=2,b=2,a+3b=8$
### 5. 
#### $5^{2020}$除11餘數
#### ans:
#### $5^{2020}=3125^{404}\equiv1^{404}(mod11)$
### 6.
#### $a_{0},a_{1}...$成等差,$P_{n}(x)=a_{0}x^{0}+a_{1}x^{1}+...+a_{n}x^{n},P_{20}(-1)=20,P_{100}(-1)=100$,求數列公差
#### ans:
#### $a_{0}-a_{1}+a_{2}...+a_{18}-a_{19}+a_{20}=a_{0}+10d=20,$同理$a_{0}+50d=100$可得d=2
### 7.
#### $S_{n}=2a_{n}-n2^{n+1},a_{100}=?$
#### ans:
#### $a_{100}=2a_{99}+101(2)^{100}=4a_{98}+101(2)^{100}+100(2)^{100}=2^{99}a_{1}+5148(2)^{100}=5150(2)^{100}$
### 8. 
#### $\begin{vmatrix}5&  3& 1\\4& c & 3\\7&  c&2\end{vmatrix}=-1,c=?$
#### ans:
#### 10c+63+4c-7c-15c-24=-1,c=5
### 9. 
#### $(a_{1},b{1})=(314,159),n=2k,(a_{n},b_{n})=(\frac{a_{n-1}+7b_{n-1}}{50},\frac{7a_{n-1}+49b_{n-1}}{50})$
#### $n=2k+1,(a_{n},b_{n})=(\frac{a_{n-1}-3b_{n-1}}{50},\frac{-3a_{n-1}+9b_{n-1}}{50}),\lim_{n \to \infty}a_{n}=?,\lim_{n \to \infty}b_{n}=?$
#### ans:
#### $\begin{bmatrix}a_{n}\\b_{n}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{1}{50}& \frac{7}{50}\\\frac{7}{50}&\frac{49}{50}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\frac{1}{10}& \frac{-3}{10}\\\frac{-3}{10}&\frac{9}{10}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{n-2}\\b_{n-2}\end{bmatrix}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}-1&-7 \\3&21\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{n-2}\\b_{n-2}\end{bmatrix}$
#### $\begin{bmatrix}a_{3}\\b_{3}\end{bmatrix}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}-a_{1}-7b_{1}\\3a_{1}+21b_{1}\end{bmatrix}=\frac{1}{25}\begin{bmatrix}-\alpha\\3\alpha\end{bmatrix}$
#### $\begin{bmatrix}a_{5}\\b_{5}\end{bmatrix}=\frac{1}{25}\times\frac{1}{25}\begin{bmatrix}20\alpha\\3\times20\alpha\end{bmatrix}$,每次公比小於1最後皆收斂於0
### 10.
#### 1000筆數據，1數100，1數0，求變異數最小
#### ans:
#### 其餘全部50,變異數為50
### 11.
#### 兩橢中心距30，長軸20，短軸10，一直線與一橢長軸夾45度，另一橢為此線的鏡射圖形，求兩橢最短距
#### ans:
#### 橢圓切線斜率平行直線的兩點為最短，設一橢圓中心在原點，鏡射在第四象限
#### $\frac{x^{2}}{100}+\frac{y^{2}}{25}=1\longrightarrow\frac{2x}{100}+\frac{2yy'}{25}=0\longrightarrow y'=\frac{-x}{4y}=1$
#### 交點$(4\sqrt{5},-\sqrt{5})、(15\sqrt{2}-5\sqrt{5},-15\sqrt{2}+5\sqrt{5})$距離為$30-5\sqrt{10}$
### 12.
#### $x^{2}+(y-3)^{2}=1,P$為圓上一點$,Q(0,-3,1),\overline{PQ}$交xz平面於R，求R軌跡方程式
#### ans:
#### 透過圓錐曲線的作圖我們可以發現到圖形為一橢且長軸平行z軸
#### 可藉$(0,2,0)、(0,4,0)$對xz的交點得出長軸為$\frac{3}{35}、$中心點為$(0,0,\frac{17}{35})$
#### 而短軸因投影會遭到壓縮，所以先將中心投回圓上得$(0,\frac{17}{6},0)$
#### 再求過此點平行x軸的線交圓的兩點，最後再求這兩點對xz的交點，即可得短軸為$\frac{3}{\sqrt{35}}$
#### 最後化為標準式的解答為$x^{2}+35z^{2}-34+8=0$
#### 另解:
#### $\overrightarrow{QP}=(cos\theta,6+sin\theta,-1)\longrightarrow L:\frac{x}{cos\theta}=\frac{y+3}{6+sin\theta}=\frac{z-1}{-1},$
#### 交xz平面$x:cos\theta\frac{3}{6+sin\theta},z:1-\frac{3}{6+sin\theta}\longrightarrow sin\theta=\frac{6z-3}{1-z},cos\theta=\frac{x}{1-z}$
#### 由$sin^2\theta+cos^2\theta=1$可得$x^{2}+35z^{2}-34+8=0$
### 13.
#### $S_{n}(x)=cosx+cos2x+...cosnx,S_{100}(\frac{4\pi}{199})=cosA\pi-\frac{1}{2},A=?$
#### ans:
#### $\frac{2\pi}{199}+\frac{4\pi}{199}+...\frac{398\pi}{199}+1=0\longrightarrow\frac{4\pi}{199}+...\frac{396\pi}{199}=\frac{-1}{2}$
#### 原式=$\frac{-1}{2}+\frac{400\pi}{199}\longrightarrow A=2k\pm \frac{2}{199}$
### 14.
#### $C_{1}=-2,$若$C_{n}=c(cos\theta+isin\theta),$則$C_{n+1}=\sqrt{c}(cos\frac{\theta}{2}+isin\frac{\theta}{2}),$求$C_{1}\times C_{2}\times...$
#### ans:
#### 長度=$2^{1+\frac{1}{2}+...}=2^{2}=4$,輻角=$180^{\circ}+90^{\circ}...=360^{\circ}$
#### 可得答案為4
### 15.
#### $w^{9}=1,w\ne1,w+w^{2}+w^{3}+w^{4}$最大值為何
#### ans:
#### $\theta=\frac{2k\pi}{9},$原式=$\sum_{k=1}^{4}cosk\theta=\frac{sin\frac{4\theta}{2}}{sin\frac{\theta}{2}}cos\frac{5\theta}{2}=\frac{sin\frac{4k\pi}{9}}{sin\frac{8k\pi}{9}}cos\frac{4k\pi}{9}=\frac{-1}{2}$
### 16.
#### $F(0,0)=0,F(x+1,0)=F(0,x)+1,F(x,y+1)=F(x+1,y)+1,F(100,100)=?$
#### ans:
#### 畫出來可得2+3+..+199+200+101=20200
### 17.
#### 一選舉甲5票、乙4票，甲一路領先乙機率?
#### ans:
#### 搜尋一路領先問題，以棋盤方格法得14種方法
#### $P=\frac{14}{\frac{9!}{5!4!}}=\frac{1}{9}$
### 18.
#### 骰骰子,第n次為$a_{n},$求$0.a_{1}a_{2}a_{3}...<\frac{41}{333}$機率
#### ans:
#### 為小於0.123123...,機率為$(\frac{1}{6})^{2}+(\frac{1}{6})^{3}\times2+(\frac{1}{6})^{5}+(\frac{1}{6})^{6}\times2+...=\frac{(\frac{1}{6})^{2}}{1-(\frac{1}{6})^{3}}+\frac{(\frac{1}{6})^{3}\times2}{1-(\frac{1}{6})^{3}}=\frac{8}{215}$
### 19.
#### $1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...$
#### ans:
#### 搜尋交錯發散級數,$\frac{1}{1+x}=1-x+x^{2}-x^{3}...$
#### $\int \frac{1}{1+x}=ln(x+1)=x-\frac{1}{2}x^{2}+\frac{1}{3}x^{3}\longrightarrow ln2=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}...$
### 20.
#### 正五邊形ABCDE邊長1，一人站C，走相鄰點機率相同，到A停止，求路徑長期望值
#### ans:
#### $E_{C}=E_{D},E_{C}=\frac{1}{2}(E_{D}+1)+\frac{1}{4}(E_{C}+2)+\frac{1}{4}\times2\longrightarrow E_{C}=6$