# 台大二階筆試-數學考古2015
## 2015台大電機
### 1.
#### 250人考試錄取125人，平均成績60，錄取者平均80，未錄取者平均?
#### 下列何種成績調整方式會影響相關係數(1)加25(2)乘1.25(3)開根號除以10
#### ans:
#### 40,(3)
### 2.
#### $6x^4+11x^3-15x^2+2>0,x$範圍?
#### $sinx_1cosx_2+sinx_2cosx_3+...sinx_ncosx_1$最大值?
#### ans:
#### 可由有理根檢驗法得
#### 原式$(2x-1)(3x+1)(x^2+2x-2)>0,\frac{-1}{3}<x<\frac{1}{2}$或$x<-1-\sqrt{3}$或$x>-1+\sqrt{3}$
#### 由柯西不等式可得$\sqrt{(sin^2x_1+sin^2x_2+...sin^2x_n)(cos^2x_2+cos^2x_3...cos^2x_n+cos^2x_1)}\ge$原式
#### 設$\alpha=cos^2x_2+cos^2x_3...cos^2x_n+cos^2x_1$
#### 則左式=$\sqrt{(n-\alpha)\alpha}=\sqrt{-(\alpha-\frac{n}{2})^2+\frac{n^2}{4}}$
#### 則當$\alpha=\frac{n}{2}$時,原式有最大值$\frac{n}{2}$
### 3.
#### 4紅4白，取後不放回，求前兩球皆白機率?取前先猜顏色，第一次猜對機率?猜對之期望值?
#### ans:
#### 前兩小題為$\frac{3}{14},\frac{1}{2}$
#### 第1球期望值為$\frac{1}{2}$，第2球時必為(4,3)，期望為$\frac{4}{7}$，第3球時可為(3,3)、(4,2)，機率分別為$\frac{4}{7}、\frac{3}{7}$，期望分別為$\frac{4}{7}\times\frac{1}{2}、\frac{3}{7}\times\frac{2}{3}$，同理可得下計算式
#### $\frac{1}{2}+\frac{4}{7}+\frac{4}{7}\times\frac{1}{2}+\frac{3}{7}\times\frac{2}{3}+\frac{6}{7}\times\frac{3}{5}+\frac{1}{7}\times\frac{4}{5}+\frac{16}{35}\times\frac{3}{4}+\frac{18}{35}\times\frac{1}{2}+\frac{1}{35}+\frac{1}{7}+\frac{6}{7}\times\frac{2}{3}+\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\times\frac{1}{2}+1=\frac{373}{70}$
### 4.
#### $f(n)=(n^2-2n+1)^{\frac{1}{3}}+(n^2-1)^{\frac{1}{3}}+(n^2+2n+1)^{\frac{1}{3}}$
#### $\frac{1}{f(1)}+\frac{1}{f(3)}+...+\frac{1}{f(999999)}=?$ $(hint:x^2+xy+y^2=\frac{x^3-y^3}{x-y})$
#### ans:
#### $x=(n-1)^{\frac{1}{3}},y=(n+1)^{\frac{1}{3}}$可得原式為
#### $\frac{1}{2}(2^{\frac{1}{3}}-0^{\frac{1}{3}}+4^{\frac{1}{3}}-2^{\frac{1}{3}}+...+100-999999^{\frac{1}{3}})=50$
### 5.
#### n條直線，任2條不平行，任3條不共點，平面分成多少塊?
#### ans:
#### 第k條可交k-1個點、多分割k個平面，n條可分割$2+2+3+4...n=\frac{n^2+n+2}{2}$
### 6.
#### 求3個同樣半徑的圓覆蓋一半徑為1的圓其最小半徑為何?同理4個最小半徑為何?
#### ans:
#### 每個圓均負責覆蓋$\frac{1}{3}$圓，半徑至少為$\frac{1}{3}$圓上的弦的一半$\frac{\sqrt{3}}{2}$，同理4個圓至少需$\frac{\sqrt{2}}{2}$
### 7.
#### Huffman編碼閱讀題
#### ans:
#### 看了就會
### 8.
#### 在五邊形上點ABCDE有10條連線，當5點可互通時為完全連線
#### 今每線斷開機率為$\frac{1}{2}$，求完全連線機率?(hint:6條以上必完全連線、4條以下必不可能完全連線)
#### ans:
#### 6條情況$\longrightarrow C^{10}_6-5$(1孤點)
#### 5條情況$\longrightarrow C^{10}_5-5\times C^6_1$(1孤點，剩下4點連線選一條)
#### 4條情況$\longrightarrow C^{10}_4-5\times C^6_2$(1孤點，剩下4點連線選一條)$-10$(1連線1三角形，兩部分不相交)
#### $P=\frac{C^{10}_{10}+C^{10}_{9}+...+C^{10}_{4}-5-30-75}{1024}=\frac{728}{1024}$