# 電視距離計算

變數說明：

* $\theta$：眼睛到電視左右兩側的夾角
* $\phi$：電視對角線與水平線的夾角
* $l$：電視對角線長
* $d$：眼睛到電視的距離
* $p_w$：電視水平像素
* $p_h$：電視垂直像素

從基本幾何關係，可以得到 $2d\tan\cfrac{\theta}{2} = l \cos \theta$

而視網膜螢幕的計算：$2dr\tan 0.5^{\circ} \ge 60$，其中 $r=\cfrac{p_h}{l\sin\phi}$

將上述兩個式子整理，並以 $d_\theta$ 與 $d_r$ 區分兩個式子的 $d$，可得到：

$$\begin{cases}
d_\theta = \cfrac{\cos\phi}{2\tan\frac{\theta}{2}}\times l \\
d_r=\cfrac{60\sin\phi}{2\tan 0.5^{\circ}}\times \cfrac{l}{p_h}
\end{cases}$$

這兩個式子分別能計算出給定視角 $\theta$ 使用者與螢幕的距離，以及視力 1.0 的使用者看不出像素點的最短距離

## 16:9 螢幕

目前大多數螢幕都是 16:9，所以 $\cos\phi=\cfrac{16}{\sqrt{337}}$，$\sin\phi=\cfrac{9}{\sqrt{337}}$，代入可得：
$$\begin{cases}
d_{\theta=40^{\circ}} = 1.197 \times l \\
d_{\theta=30^{\circ}} = 1.626 \times l \\
d_{\theta=20^{\circ}} = 2.471 \times l \\
d_r=1685\times \cfrac{l}{p_h}
\end{cases}$$

（這就是一些網站會看到 1.2 倍、1.6 倍、2.5 倍的由來）

上面的式子 $d$ 跟 $l$ 是相同單位，但臺灣習慣以英吋表達螢幕對角線長，以公分量測人與電視的距離。為方便起見，可以把每個式子都乘上 $2.54$，這樣代入以英吋為單位的對角線長就會得到以公分為單位的距離了：

$$\begin{cases}
d_{\theta=40^{\circ}} = 3.04 \times l \\
d_{\theta=30^{\circ}} = 4.13 \times l \\
d_{\theta=20^{\circ}} = 6.28 \times l \\
d_r=4281\times \cfrac{l}{p_h}
\end{cases}$$

（有些網站把對角線乘 3 倍直接變成公分就是這邊來的，此時取視角 $40^{\circ}$）

以 50 吋 4K 螢幕為範例，$l=50$、$p_h=2160$ 代入，可得到：

$$\begin{cases}
d_{\theta=40^{\circ}} = 3.04 \times 50 = 152 \\
d_{\theta=30^{\circ}} = 4.13 \times 50 = 206.5 \\
d_{\theta=20^{\circ}} = 6.28 \times 50 = 314 \\
d_r=4281\times \cfrac{50}{2160}= 99.1
\end{cases}$$

## 與網站資料比較

### sony

來源：https://www.sony.com.hk/zh/electronics/support/televisions-projectors-lcd-tvs-android-/articles/00008601

比較 65 吋 4K 螢幕：

| 項目 | 網站數值 | 計算數值 |
|--|--|--|
|最短觀賞距離範圍|1.2 公尺| 128.8 公分（$d_r$）|
|建議的混合用途距離(30°)|2.69 公尺| 268.45 公分（$d_{\theta=30^{\circ}}$） |
|建議的劇院距離 (40°)|1.98 公尺| 197.6 公分（$d_{\theta=40^{\circ}}$） |

PS. 公式一開始在計算視網膜螢幕距離是大於等於 60，這數值其實在 52~63 都是合理範圍。故略有差異

另外內文提到最近距離是 1.5 倍螢幕高，來源是這樣的：

$$
\begin{aligned}
d_r&=\cfrac{60\sin\phi}{2\tan 0.5^{\circ}}\times\cfrac{l}{d_h} \quad \cdots \quad (h=l\sin\phi)\\
&=\cfrac{60}{2\tan 0.5^{\circ}}\times\cfrac{h}{d_h} \\
&\simeq 1.59 \times h
\end{aligned}
$$

如果把 60 改成 58，則 $d_r=1.53\times h$，也就是 1.5 的來源了

這個數值是讓使用者**超過**這距離看電視，避免看出像素點，而不是說在這距離看是最舒適的

### 三星

來源：https://www.samsung.com/tw/tvs/tv-buying-guide/what-size-tv-should-i-get/

這網站直接取 40 度

| 尺寸 | 網站數值 | 計算數值 $d_{\theta=40^{\circ}}$ |
|--|--|--|
| 55 | 1.7米 | 167.2 公分|
| 65 | 2.0米 | 197.6 公分|
| 75 | 2.3米 | 228 公分|

### LG

來源：https://www.lg.com/tw/knowledge-center/tv/3-tips-to-find-the-most-comfortable-tv-viewing-distance/

| 尺寸 | 網站數值（公尺） | 計算數值 $d_{\theta=40^{\circ}}$ |
|--|--|--|
| 48 | 1.44 | 145.92 公分|
| 55 | 1.65 | 167.2 公分|
| 65 | 1.95 | 197.6 公分|

他直接乘 3 倍，所以是 $d_{\theta=40^{\circ}}$ 的簡化版。至於內文提到這是視角 $20^{\circ}$，應該是寫錯了。

### BenQ

來源：https://www.benq.com/zh-tw/knowledge-center/technology/tv-buyingguide-size.html

4K Ultra HD

| 尺寸 | 網站數值（公尺） | 計算數值 $d_{\theta=40^{\circ}}$ |
|--|--|--|
| 43 | 1.3 | 130.72 公分|
| 49 | 1.4 | 148.96 公分|
| 50 | 1.5 | 152 公分 |

1080p

| 尺寸 | 網站數值（公尺） | 計算數值 $d_{\theta=30^{\circ}}$ |
|--|--|--|
| 43 | 1.8 | 177.59 公分|
| 49 | 2.1 | 202.37 公分|
| 50 | 2.1 | 206.5 公分 |

（1080p 的 $d_{\theta=40^{\circ}}$ 會比 $d_r$ 還小，也許是這原因他改用 $d_{\theta=30^{\circ}}$）

720p

| 尺寸 | 網站數值（公尺） | 計算數值 $d_r$ |
|--|--|--|
| 32 | 1.9 | 190.3 公分|
| 40 | 2.4 | 237.8 公分|