# 高度對於氣溫與壓力關係式證明
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在地球表面附近的大氣壓力和溫度會隨高度的上升而下降。為了能理解其間的數量關係，我們作如下的假設：大氣層可視為靜流體，空氣是理想氣體，且因為空氣的導熱性相當差，所以大氣層可視為絕熱系統；另外，重力加速度g可視為定值(因在地表附近)。回答下列各題：
(a)試證明大氣溫度T和離地高度的關係式為：
(b)試證明大氣壓力P和離地高度的關係式為：
## 假設
1. 大氣為靜流體
2. 空氣是理想氣體
3. 絕熱系統
4. 重力加速度$g$為定值

## 靜力平衡
考慮一位於高度$z$、長寬高分別為$dx,dy,dz$的空氣塊。

定義壓力$p$為高度的函數，下方支撐的浮力為$p(z)A$、上方施加的壓力為$p(z+dz)A$，可得淨浮力公式為：
\begin{gather*}
[p(z)-p(z+dz)]A
\end{gather*}

由靜流體假設可知橫向沒有壓差，縱向上欲達到平衡則浮力要與重力互相抵銷，可以得到：
\begin{gather*}
[p(z)-p(z+dz)]A=(\rho Adz)g
\end{gather*}

簡化得到：
\begin{gather*}
\frac{dp}{dz}=-\rho g
\end{gather*}

這就是*大氣靜力平衡方程式*。
其中密度又可寫成：
\begin{gather*}
\rho=\frac{nM_{mol}}{V}
\end{gather*}

這裡$n$為莫耳數、$M_{mol}$為莫耳質量、$V$是體積。
由理想氣體方程式：
\begin{gather*}
pV=nRT
\end{gather*}

可得密度為：
\begin{gather*}
\rho=\frac{pM_{mol}}{RT}
\end{gather*}

因此靜力平衡方程式又可表示為：
\begin{gather*}
\frac{dp}{p}=-\frac{M_{mol}g}{RT}dz
\end{gather*}

## 絕熱變化
### 溫度
已知絕熱空氣壓力與溫度的關係為：
\begin{gather*}
p^{1-\gamma}T^\gamma=constant
\end{gather*}

微分並移項後可寫成：
\begin{gather*}
\frac{dp}{p}=\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{dT}{T}
\end{gather*}

代入前面靜力平衡關係可得：
\begin{gather*}
\frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{dT}{T}=-\frac{M_{mol}g}{RT}dz
\end{gather*}

可改寫為溫度變化與高度變化間的關係：
\begin{gather*}
\frac{dT}{dz}=-\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{M_{mol}g}{R}
\end{gather*}

將上式積分：
\begin{gather*}
\int_{T_s}^TdT=-\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{M_{mol}g}{R}\int_0^hdz
\end{gather*}

即得到*高度對溫度的關係式*：
\begin{gather*}
T=T_s-\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{M_{mol}g}{R}h
\end{gather*}

**Q.E.D**

### 壓力
由壓力與溫度的關係式可知：
\begin{gather*}
p \propto T^{\gamma/(\gamma-1)}
\end{gather*}

前面推導的高度對溫度關係式可改寫為：
\begin{gather*}
T^{\gamma/(\gamma-1)}=\left(T_s-\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{M_{mol}g}{R}h\right)^{\gamma/(\gamma-1)}
\end{gather*}

即得到*高度對壓力的關係式*：
\begin{gather*}
p=p_s\left(1-\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{M_{mol}g}{R}h\right)^{\gamma/(\gamma-1)}
\end{gather*}

**Q.E.D**