# ТПР контрольная

$$
F(x) = 2x_1 + 3x_2 + 3x_3 + 7x_4 -> min\\
4x_1 + 5x_2 + x_3 - 5x_4 = 16\\
5x_1 + 8x_2 + 3x_3 + 2x_4 = 34\\
x>= 0. i = \overline{1,4}
$$

### Графический

Неплохой пример решения https://www.matburo.ru/Examples/Files/LP_Graph3.pdf

Так как число переменных в задаче равно 4, в исходной постановке задача графическим методом не решается.
Сведем эту задачу к задаче с двумя переменными.
Выразим какие-либо две переменные задачи через остальные две переменные.
$$
x_1 = -6 + x_3 + \frac{50}{7}x_4 >= 0
$$
$$
x_2 = 8 - x_3 - \frac{66}{14}x_4 >= 0\\
$$
$$
F(x)=12+2x_{3}+\frac{100}{14}x_{4}
$$
Приходим к задаче линейного программирования с двумя переменными:
$$
F(x)=12+2x_{3}+\frac{100}{14}x_{4}
$$
$$
-x_3 - \frac{50}{7}x_4 <= -6
$$
$$
x_3 + \frac{66}{14}x_4 <= 8
$$
Строим область допустимых решений в плоскости xOx , ограниченную неравенствами:

Ограничиываем многоугольник прямыми x=0, y = 0

Строим график целевой функции = 0.
Строим паралельный ему график, такой что он пересекает плоскость в минимальной точке (так как функция минимум, грубо говоря, тот что ближе всего к точке (0,0), , если нужно было бы для функции максимум, то была бы самая дальняя от (0,0) точка. На рисунке отмечены обе точки)

Для максимума нужно было бы написать что-то вроде:
Вектор-градиент, составленный из коэффициентов целевой функции, указывает направление максимизации F(X). Начало вектора – точка (0; 0), конец – точка (2;100/14)


Это точка находится на пересечении прямых
$$
x_3 = 0.
-x_3 - \frac{50}{7}x_4 = -6\\
$$
Получаем координаты точки
$$
0 - \frac{50}{7}x_4 = -6\\
x_4 = \frac{21}{25}\\
[x_3^0, x_4^0] = (0,21/25)
$$

Найдем значение целевой функции
$$
F(x) = 12+2*0+\frac{100*21}{14*25} = 12 + 6 = 18
$$

### Попытки в аналитику

Вводим x1,x2 в базис. x3,x4 - свободные. Выражаем базисные переменные через свободные

$$
x_1 = \frac{16 + 5x_4 - x_3 - 5x_2}{4} >= 0\\
x_2 = \frac{34 - 2x_4 - 3x_3 - 5x_1}{8} >= 0\\
---\\
x_1 = 4 + \frac{5}{4}x_4 - \frac{1}{4}x_3 - \frac{5}{4}x_2 >= 0\\
x_2 = \frac{17}{4} - \frac{1}{4}x_4 - \frac{3}{8}x_3 - \frac{5}{8}x_1 >= 0\\
$$
подставляем в 1 строку x2 из второй, а в 2 сроку x1 из первой
$$
x_1 = 4 + \frac{5}{4}x_4 - \frac{1}{4}x_3 - \frac{5}{4}(\frac{17}{4} - \frac{1}{4}x_4 - \frac{3}{8}x_3 - \frac{5}{8}x_1) >= 0\\
x_1= 4 + \frac{5}{4}x_4 - \frac{1}{4}x_3 - \frac{85}{16} + \frac{5}{16}x_4 + \frac{15}{32}x_3 + \frac{25}{32}x_1 >= 0\\
\frac{7}{32}x_1 = -\frac{21}{16} + \frac{7}{32}x_3 + \frac{25}{16}x_4\\
x_1 = -\frac{21*32}{16*7} + \frac{7*32}{32*7}x_3 + \frac{25*32}{16*7}x_4\\
x_1 = -6 + x_3 + \frac{50}{7}x_4 >= 0\\
x_2 = \frac{17}{4} - \frac{1}{4}x_4 - \frac{3}{8}x_3 - \frac{5}{8}(-6 + x_3 + \frac{50}{7}x_4)\\
x_2 = \frac{17}{4} - \frac{1}{4}x_4 - \frac{3}{8}x_3 + \frac{30}{8} - \frac{5}{8}x_3 - \frac{250}{56}x_4\\
x_2 = 8 - x_3 - \frac{66}{14}x_4 >= 0\\
$$
полагая все свободные переменные (x3,x4) равными нулю,
$$
x^{(0)} = (-6, 8, 0,0)\\
F(x^{(0)}) =12+2x_{3}+\frac{100}{14}x_{4}\\
$$
Среди коэффициентов есть отрицательные. Решение не оптимальное. Вместо x1 возьмем x4
$$
x_3 = 0\\
x_1 = -6 + x_3 + \frac{50}{7}x_4 >= 0\\
x_2 = 8 - x_3 - \frac{66}{14}x_4 >= 0\\
---\\
x_1 = -6 + \frac{50}{7}x_4 >= 0\\
x_2 = 8 - \frac{66}{14}x_4 >= 0\\
---\\
x_4 <= -\frac{56}{50}\\
x_4 <= \frac{112}{66}\\
$$
Переводим x4 в базис
$$
x_4 = \frac{7}{50}x_1 + \frac{42}{50} - \frac{7}{50}x_3 >= 0\\
x_2 = 8 - x_3 - \frac{66}{14}x_4 >= 0\\
---\\
x_4 = \frac{7}{50}x_1 + \frac{42}{50} - \frac{7}{50}x_3\\ >= 0\\
x_2 = 8 - x_3 - \frac{66}{14}(\frac{7}{50}x_1 + \frac{42}{50} - \frac{7}{50}x_3) >= 0\\
x_2 = 8 - x_3 - \frac{66}{14}(\frac{7}{50}x_1 + \frac{42}{50} - \frac{7}{50}x_3) >= 0\\
x_2 = \frac{202}{50} -\frac{33}{50}x_{1} -\frac{17}{50}x_{3}
$$

$$
x^{(1)} = (0,202/50,0,42/50)\\
F(x^{(1)}) = \frac{7}{50}x_1 + \frac{42}{50} - \frac{7}{50}x_3 + \frac{202}{50} -\frac{33}{50}x_{1} -\frac{17}{50}x_{3}
$$
Решение оптимальное????
F = 4.8
(По симплекс таблицам выходило 18, где ошибка я хз искренне)

### Симплекс таблицы

строим расширенную матрицу

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
|?1 | 4| 5 | 1| -5 | 16 |
|?2| 5 | 8| 3 | 2 |34 |

в качестве 1 базисной переменной выберем x3. Сейчас это довольно удобно сделать потому что в 1 строке матрицы там стоит 1. Будет проще преобразовывать

РЭ (разрешающий элемент) [x3 в 1 строчке] = 1. Разделим 1 строку на РЭ, чтобы значение в [x3,x3] стало равным 0. Так как РЭ

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 4/1| 5/1 | 1/1| -5/1 | 16/1 |
|?2| 5 | 8| 3 | 2 |34 |

=
| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 4| 5 | 1 | -5 | 16 |
|?2| 5 | 8| 3 | 2 |34 |

вторая базисная переменная не должна выражаться через первую базисную переменную. Поэтому нам нужно чтобы значение в [?2, x3] было = 0.
Вычитаем из второй строки 3 первой строки

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 4| 5 | 1 | -5 | 16 |
|?2| 5 - 12 | 8 - 15| 3 - 3 | 2 + 15 |34 - 48 |

=
| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 4| 5 | 1 | -5 | 16 |
|?2| -7 | -7 | 0 | 17 | -14 |

просто потому что выбираем 2 базисную переменную x4. Аналогично
РЭ = 17. Нужно разделить 2 строку на РЭ чтобы значение в [x4,x4] стало = 1. Сложить с 1 строкой 5 вторых строк, чтобы значение в [x3,x4] стало = 0.

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 4| 5 | 1 | -5 | 16 |
| x4| -7/17 | -7/17 | 0 | 1 | -14/17 |

=
| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 4 + (-7\*5)/17 | 5+ (-7\*5)/17 | 1+ (0\*5) | -5+ (1\*5) | 16+ (-14\*5)/17 |
| x4| -7/17 | -7/17 | 0 | 1 | -14/17 |

=
| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 4 + (-7\*5)/17 | 5+ (-7\*5)/17 | 1 | 0 | 16+ (-14\*5)/17 |
| x4| -7/17 | -7/17 | 0 | 1 | -14/17 |

=
| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 33/17 | 50/17 | 1 | 0 | 202/17 |
| x4| -7/17 | -7/17 | 0 | 1 | -14/17 |

Выразим базисные переменные через остальные, и подставим их в целевую функцию

$$
x_3 = -\frac{33}{17}x_1 -\frac{50}{17}x_2 + \frac{202}{17}\\
x_4 = \frac{7}{17}x_1 + \frac{7}{17}x_2 - \frac{14}{17} \\
F(x) = 2x_1 + 3x_2 + 3(-\frac{33}{17}x_1 -\frac{50}{17}x_2 + \frac{202}{17}) + 7(\frac{7}{17}x_1 + \frac{7}{17}x_2 - \frac{14}{17})\\
F(x) = x_1(\frac{34}{17} - \frac{99}{17} + \frac{49}{17}) + x_2(\frac{51}{17} - \frac{150}{17} + \frac{49}{17}) + (\frac{606}{17} - \frac{98}{17})\\
F(x) = -\frac{16}{17}x_1 - \frac{50}{17}x_2 + \frac{508}{17}
$$
Среди свободных членов имеются отрицательные значения, следовательно, полученный базисный план не является Оптимальным.

Заменяем 1 переменную базиса на другую. Заменим x4 на x1 (у x4 самый большой коэффициент, у x1 самый маленький)

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 33/17 | 50/17 | 1 | 0 | 202/17 |
| x4| -7/17 | -7/17 | 0 | 1 | -14/17 |

1) делим каждый элемент 2 строки на РЭ ( = -7/17, чтобы в [x1,x1] стало 1)

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 33/17 | 50/17 | 1 | 0 | 202/17 |
| x1| 1 | 1 | 0 | -17/7 | 2 |

2) чтобы в [x3,x1] значение стало 0, вычитаем из 1 строки 33/17 второй строки

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 33/17 - 33/17 | (50-33)/17 | 1 | (33\*17)/(17\*7) | 202/17 - 66/17 |
| x1| 1 | 1 | 0 | 17/-7 | 2 |

=

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 0 | 1 | 1 | 33/7 | 8 |
| x1| 1 | 1 | 0 | -7/17 | 2 |

аналогично предыдущей таблице выражаем базисные переменные через остальные

$$
x_3 = -x_2 - \frac{33}{17}x_4 + 8\\
x_1 = -x_2 - \frac{7}{17}x_4 + 2\\
F(X) = 2(-x_2 + \frac{7}{17}x_4 + 2) + 3x_2 + 3(-x_2 - \frac{33}{17}x_4 + 8) + 7x_4\\
F(X) = x_2(-2 +3 - 3) + x_4(-\frac{14}{17} - \frac{99}{17} + \frac{119}{7}) + (4 + 24)\\
F(X) = -2x_2 - \frac{16}{17}x_4 + 28
$$
значение 28 в дальнейшем игнорируем

Среди свободных членов имеются отрицательные значения, следовательно, полученный базисный план не является Оптимальным.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x4, так как это наибольший коэффициент (16/7).

:::warning
Вот тут я не до конца понял

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: b / ai4
и из них выберем наименьшее положительное :
| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 | |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | ---- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b | min |
| x3 | 0 | 1 | 1 | 33/7 | 8 | 8 / 33/7 |
| x1| 1 | 1 | 0 | -7/17 | 2 | 2 / (-7/17) |

=

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 | |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | ---- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b | min |
| x3 | 0 | 1 | 1 | 33/7 | 8 | 56/33 |
| x1| 1 | 1 | 0 | -7/17 | 2 | -34/7 |

min = 56/33
:::

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Вместо переменной x3 в план 1 войдет переменная x4.
Переписываем таблицу

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x3 | 0 | 1 | 1 | 33/7 | 8 |
| x1| 1 | 1 | 0 | -7/17 | 2 |

=

(первую строку делим на 33/7)
| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x4 | 0 | 7/33 | 7/33 | 1 | 56/33 |
| x1| 1 | 1 | 0 | -7/17 | 2 |

=
(из второй строки вычитаем -7/17 первой строки)
| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x4 | 0 | 7/33 | 7/33 | 1 | 56/33 |
| x1| 1 | 50/33 | 17/33 | 0 | 202/33 |

дописывам строку F(x)

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x4 | 0 | 7/33 | 7/33 | 1 | 56/33 |
| x1| 1 | 50/33 | 17/33 | 0 | 202/33 |
|F(X)| 0 | 2 | 0 | 16/7 | 0 |

Вычитаем из нее 16/7 1 строк, чтобы F(x) зависел только от x2 и x3
| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x4 | 0 | 7/33 | 7/33 | 1 | 56/33 |
| x1| 1 | 50/33 | 17/33 | 0 | 202/33 |
|F(X)| 0 | 50/33 | -16/33 | 0 | -128/33 |

В строке есть отрицательные коэффициенты, опять идем пересчитывать

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x2, так как это наибольший коэффициент (50/33)

Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (56/33 : 7/33 , 202/33 : 50/33 ) = min(56/7, 202/50) = min(8, 101/25) = 101/25. наименьшее - 2 число. Ведущая строка - 2.
поэтому вместо x1 в базис войдет x2

1) делим 2 строку на 50/33

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x4 | 0 | 7/33 | 7/33 | 1 | 56/33 |
| x2| 33/50 | 1 | 17/50 | 0 | 202/50 |
|F(X)| 0 | 50/33 | -16/33 | 0 | -128/33 |

2) вычитаем из 1 строки 7/33 второй

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x4 | -7/50 | 0 | 7/50 | 1 | 21/25 |
| x2| 33/50 | 1 | 17/50 | 0 | 101/25 |
|F(X)| 0 | 50/33 | -16/33 | 0 | -128/33 |

3) вычитаем из 3 строки 50/33 второй

| C | 2 | 3 | 3 | 7 | 0 |
| -------- | -------- | -------- | -------- | -------- | -------- |
| базис | x1 | x2 | x3 | x4 | b |
| x4 | -7/50 | 0 | 7/50 | 1 | 21/25 |
| x2| 33/50 | 1 | 17/50 | 0 | 101/25 |
|F(X)| -1 | 0 | -1 | 0 | -10 |

И В КОИ ТО ВЕКИ В ИНДЕКСНОЙ СТРОКЕ ОНИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫЕ ()
$$
x1 = 0\\
x3 = 0\\
x4 = b1 = 21/25\\
x2 = b2 = 101/25\\
F(X) = 2*0 + 3*101/25 + 3*0 + 7*21/25 = \frac{303 + 147}{25} = \frac{450}{25} = 18
$$

2)
$$
\begin{pmatrix}0 & 2 & -1\\2 & 0 & 1\\-1 & 1 & 3\end{pmatrix}
$$

1) Проверяем, можно ли уменьшить размерность через доминируемые стратегии. Нельзя.
2) Убираем отрицательные элементы матрицы. Вычитаем из каждого элемента матрицы минимальное число (-1)
$$
\begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\3 & 1 & 2\\0 & 2 & 4\end{pmatrix}
$$
3) Перепишем каждый столбец в виде неравенств

v - цена игры

p1 + 3p2 >= v
3p1 + p2 + 2p3 >= v
2p2 + 4p3 >= v
p >=0, i = 1,2,3

4) Разделим обе части неравенства на V и введём обозначения yi = pi/V (i=1,2,3.):

y1 + 3y2 >= 1
3y1 + y2 + 2y3 >= 1
2y2 + 4y3 >= 1
y >=0, i = 1,2,3

F = y1 + y2 + y3 = (p1 + p2 + p3)/v = 1/v
Так как игрок A стремится повысить цену игры, то F -> min

5) Аналогично составляем злп для игрока Б (переписываем каждую строку в виде неравенств)

q1 + 3q2 <= v
3q1 + q2 + 2q3 <= v
2q2 + 4q3 <= v

:::warning
Эта матрица симметричная, поэтому коэффициенты для a и b одинаковы.
:::

xi = (qi)/v.

x1 + 3x2 <= 1
3x1 + x2 + 3x3 <= 1
2x2 + 4x3 <= 1

F = x1 + x2 + x3 = (q1 + q2 + q3)/v = 1/v -> max
Так как игрок A стремится понизить цену игры, то F -> max

Полученные задачи являются взаимно двойственными задачами линейного программирования.

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.
Определим максимальное значение целевой функции Z(Y) = y1+y2+y3 при следующих условиях-ограничений.
y1+3y2≤1
3y1+y2+2y3≤1
2y2+4y3≤1
Для построения первого опорного плана систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме).
y1+3y2+y4 = 1
3y1+y2+2y3+y5 = 1
2y2+4y3+y6 = 1
Решим систему уравнений относительно базисных переменных: y4, y5, y6

Переходим к основному алгоритму симплекс-метода.
Итерация №0.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной y3, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai3
и из них выберем наименьшее:
min (- , 1 : 2 , 1 : 4 ) = 1/4
Следовательно, 3-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (4) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной y6 в план 1 войдет переменная y3.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Итерация №1.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной y1, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai1
и из них выберем наименьшее:
min (1 : 1 , 1/2 : 3 , - ) = 1/6
Следовательно, 2-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной y5 в план 2 войдет переменная y1.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Итерация №2.
Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.
В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной y2, так как это наибольший коэффициент по модулю.
Вычислим значения Di по строкам как частное от деления: bi / ai2
и из них выберем наименьшее:
min (5/6 : 3 , - , 1/4 : 1/2 ) = 5/18
Следовательно, 1-ая строка является ведущей.
Разрешающий элемент равен (3) и находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

Формируем следующую часть симплексной таблицы. Вместо переменной y4 в план 3 войдет переменная y2.

Получаем новую симплекс-таблицу:

Конец итераций: индексная строка не содержит отрицательных элементов - найден оптимальный план
Среди значений индексной строки нет отрицательных. Поэтому эта таблица определяет оптимальный план задачи.

Оптимальный план можно записать так:
y1 = 1/6, y2 = 5/18, y3 = 1/9
Z(Y) = 1*1/6 + 1*5/18 + 1*1/9 = 5/9

Используя последнюю итерацию прямой задачи найдем, оптимальный план двойственной задачи.
x1=1/6, x2=5/18, x3=1/9

$$
v = 1 : 5/9 = 9/5\\
p1 = 9/5*1/6 = 3/10\\
p2 = 9/5*5/18 = 1/2\\
p3 = 9/5*1/9 = 1/5\\
q1 = 9/5*1/6 = 3/10\\
q2 = 9/5*5/18 = 1/2\\
q3 = 9/5*1/9 = 1/5\\
$$

### Обратной матрицей

$$
\begin{pmatrix}1 & 3 & 0\\3 & 1 & 2\\0 & 2 & 4\end{pmatrix}
$$
Также изменяем матрицу, повышая до 0 отрицательные
∆=1*(1*4 - 2*2) - 3*(3*4 - 2*0) + 0*(3*2 - 1*0) = -36


$$
u = (1,1,1)\\
up^{-1} = (1/6, 5/18, 1/9)\\
up^{-1}u^T = 1/6 + 5/18 + 1/9 = \frac{3 + 5 + 2}{18} = \frac{10}{18} = \frac{5}{9}\\
v= \frac{9}{5}\\
x = (1/6, 5/18, 1/9)*\frac{9}{5} = (3/10, 1/2, 1/5) \\
p^{-1}u = (1/6, 5/18, 1/9)\\
y = (1/6, 5/18, 1/9)*\frac{9}{5} = (3/10, 1/2, 1/5)
$$

Результаты и там и там совпадают