# ТВИМС Примеры решений

### Вопрос 3: условная вероятность

## Локальная теорема Муавра Лапласа

Монета подбрасывается 400 раз. Найти вероятность того, что орёл выпадет ровно 200 раз

***Решение:***
Расписываем известные величины
n = 1/2; q = 1/2. n = 400. m = 225.

Ищем по формуле

1) Находим x
$$
x = \frac{m - np}{\sqrt{npq}} = \frac{225 - 400*0.5}{\sqrt{400*0.5*0.5}} = \frac{225 - 200}{\sqrt{100}} = \frac{25}{\sqrt{100}} = 2.5
$$
2) Находим ф(x)
$$
\frac{1}{\sqrt{2\pi}}*e^{-\frac{x^2}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}*e^{-\frac{2.5^2}{2}} = 0,0175
$$
4) Находим первую часть функции
$$
\frac{1}{\sqrt{npq}} = \frac{1}{\sqrt{400*0.5*0.5}} = \frac{1}{10}
$$
3) Объединяем
$$
0.1*0.0175 = 0.00175
$$

### Вопрос 9. Вероятность отклонения относительной частоты от вероятности


## ДСВ

1) Составить функцию распределения по закону распределения

|x| 12| 16| 21| 26 | 30|
|--|--|--|--|------|----|
|p| 0.2| 0.1|0.4| 0.2| 0.1|

F(x < 12) = 0
F(12 < x < 16) = F(x < 12) + p12 = 0 + p12 = 0.2
F(16 < x < 21) = F(12 < x < 16) + p16 = 0.3
F(21 < x < 26) = F(16 < x < 21) + p21 = 0.7
F(26 < x < 30) = F(21 < x < 26) + p26 = 1 - p30 = 0.9
F(30 < x) = 1

2) Мат. ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение
Дискретная случайная величина задана своим законом распределения:


Найти её математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратическое отклонение.
$$
M(x) = -2*0.4 + 0*0.1 + 3*0.3 + 7*0.2 = -0.8 + 0.9 + 1.4 = 1.5
$$

Найдем дисперсию двумя способами

1) По табличке (эксель збс)

2) По теореме 3
M(x)^2 = 2.25

$$
M(x^2) = 4*0.4 + 0*0.1 + 9*0.3 + 49*0.2 = 1.6 + 2.7 + 9.8 = 14.1
$$
M(x)^2 = 2.25
D(x) = 14.1 - 2.25 = 11.85
G(x) = D(x)^(1/2) = 3,48

### Правило 3 сигм
https://hackmd.io/F8wOMCDvSDewQgFEmWyZYA#
Средний вес годовалой девочки: 9.5кг. Среднеквадратическое отклонение = 1.1кг
Какой процент девочек весит:
1) меньше 8.4 кг
2) между 7.3 и 11.7 кг
3) больше 12.8 кг

$$
M = 9.5\\
\sigma = 1.1
$$
Построим график нормального распределения. Обозначим границы промежутков для правила 3 сигм
По графику и правилу 3 сигм можно понять какие будут вероятности

1) \< 8.4 = (100 - 68)/2 = 16%
2) \> 7.3, < 11.7: 95%
3) \> 12.8: 0.15%

### Неравенство Маркова

Среднее количество вызовов, поступающих на коммутатор завода в течение часа,
равно 300. Оценить вероятность того, что в течение следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 500.
$$
M = 300.
а) P(X ≥ 400) ≤\frac{300}{400}\\
P(X >= 400) <= \frac{3}{4}\\
b) P(X < x) >= 1 - \frac{M}{x}\\
P(X <= 500) >= 1 - \frac{300}{500} >= \frac{200}{500}
$$

В 1600 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,3. Оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов будет меньше 50.
$$
M = np = 0.3*1600 = 480\\
D = npq = 480*0.7=336\\
P(|X - 480| < 50) >= 1- \frac{336}{50^2} >= \frac{2500 - 336}{2500} >= 0.8656
$$

Генератор обеспечивает выходное напряжение, которое может отклоняться от
номинального на значение, не превышающее 1 В, с вероятностью 0,95. Какие значения
дисперсии выходного напряжения можно ожидать?
0.95 - вероятность отклонения на значение = 2 сигмы. 0.5в - среднее квадратическоеое отклонение
$$
P(|X - M| < 1) >= 0.95\\
1 - 0.95 = 0.05\\
\frac{1}{20} >= \frac{D}{1^2};\ 20D <= 1\ D >= \frac{1}{20}
$$

#### Теорема чебышева и ЗБЧ

Для того чтобы к последовательности случайных величин была применима
теорема Чебышева, достаточно, чтобы эти величины были попарно независимы, имели
конечные математические ожидания и равномерно ограниченные дисперсии.
Поскольку случайные величины независимы, они попарно независимы, то есть первое
требование выполняется
$$
Mx = \frac{1}{2n^2}*(-na) + 0 + \frac{1}{2n^2}*na = 0\\
$$
математические ожидания ограничены.
$$
Dx = M(x^2) - M(x)^2 = \frac{1}{n^2}*(na)^2 = a^2\\
Dx <= a^2
$$
Так как все требования выполнены, закон больших чисел применим.

**Задача**. Вероятность того, что абсолютная величина отклонения средней арифметической
случайных величин от средней арифметической их математических ожиданий не
превышает 0,5, равна 0,8. Дисперсия каждой независимой случайной величины не
превышает 7. Найти число таких случайных величин

$$
P(|\frac{X1+X2+...+Xn}{n}−\frac{a1+a2+...+an}{n}≤ε)>=0.8\\
P(|\frac{X1+X2+...+Xn}{n}−\frac{a1+a2+...+an}{n}≤0.5)>= 1- \frac{Dx}{n*0.5^2}\\
1- \frac{Dx}{n*0.5^2} = 0.8\\
0.05n = Dx\ n = \frac{0.7}{0.005} = 140\\
$$

## СВ

### математическое ожидание случайной величины X, при условии, что другая величина приняла значение Y = yn

При любом возможном значении «игрек» условные математические ожидания:

### Вероятность того, что случайная величина попадет в определенную площадь P(xi < x < xj; yn < y < ym)

Нужно проссумировать вероятности из соответствующего промежутка

### Закон распределения вероятностей случайной величины Z = X + Y

Возьмем СВ:

находим вероятность при котором z = 0:
p(0)