# Математика

## Easy

### `def my_times(a, b)`

Реалізувати множення чисел через додавання.

$$ a\times b = \sum_{i=1}^a{b}
$$

### `def my_power(x, p)`

Реалізувати піднесення до степеня через множення

$$ x^p = \prod_{i=1}^p{x}
$$

### `def my_factorial(x)`

Реалізувати факторіал через множення

$$ x! = \prod_{i=1}^x{i}
$$

### `def my_geometric(x)`

Реалізувати суму геометричної прогресії ($|x| < 1$):

$$ geom(x) = \sum_{i=1}^\infty x^i
$$

### `def my_exp(x)`

Реалізувати функцію $\exp$

$$ \exp(x) = \sum_{i=0}^\infty \frac{x^i}{i!}
$$

### `def my_ln_mini(x)`

Реалізувати натуральний логарифм (обмежений варіант)

$$ \ln(1 + x) = \sum_{i=1}^\infty \frac{(-1)^{i+1}}{i}x^i, -1 < x \leq 1
$$

### `def my_sin(x)`

Реалізувати функцію синусу

$$ \sin x = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!}x^{2n+1}
$$

### `def my_cos(x)`

Реалізувати косинус

$$ \cos x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}
$$

### `def my_arctan(x)`

Реалізувати арктангенс
$$
\arctan x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(-1)^n}{2n+1} x^{2n+1}
$$

### `def my_arcsin(x)`

Реалізувати арксинус
$$
\arcsin x = \sum^{\infty}_{n=0} \frac{(2n)!}{4^n (n!)^2 (2n+1)} x^{2n+1}
$$

### І що це дає?

- можна пора

## Medium

### `def my_fast_power(x, p)`

Реалізувати "швидке" піднесення до степеня. Використовуючи це правило

$$a^{2c} = (a^2)^c
$$

можна скоротити кількість множень, якщо на парних кроках множення робити піднесення до квадрату

$$x^p = \begin{cases}
(x^2)^t, p=2t, t\in\mathbb{N} \\
x\times (x^2)^t, p=2t+1, t\in\mathbb{N}
\end{cases}
$$

### `def my_ln(x)`

Реалізувати натуральний логарифм через `my_ln_mini()`. Використати правило

$$
\ln(xy) = \ln{x}+\ln{y}
$$

### `def my_ln_alt(x)`

Реалізувати натуральний логарифм, використавши формулу

$$
\begin{align}
\ln \left(\frac{n + 1}{n}\right) &= \frac{2}{2n + 1} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{(2k + 1) ((2n + 1)^2)^k}
\end{align}
$$