A.3.3 Multinomial Distribution

定義

延續

$A.3.1$，如果我們將 Bernoulli distribution （只有兩個 states，"success"（

$1$）和 "failure"（

$0$））generalize 到多個 states：

也就是說一個 random event 的 outcome 是

$K$ 個 mutually exclusive 且 exhaustive 的 states 中的其中一個。

• mutually exclusive：任兩個相異的 states 相交
  $=\varphi$，也就是說不會有兩個 states 同時發生
• exhaustive：所有的
  $K$ 個 states 聯集
  $=$ sample space，也就是所有可能的 outcomes 都被涵蓋在這
  $K$ 個 states 中。

那麼若這

$K$ 個 states 每個發生的機率都令為

$p_i$，則滿足：

$$\sum _{i=1}^K{p}_i=1$$

假設有

$N$ 個這樣的 trials，其中 outcome 是

$i$ 的次數令為

$N_i$，且：

$$\sum _{i=1}^K{N}_i=N$$

則

$N_1,N_2,...,N_K$ 的 joint distribution 是 multinomial 的：

特例

$A.38$ 的特例是當

$N=1$ 時：

我們只有一個 trial（只執行這個 random experiment 一次），則所有的

$N_i$ 都是

$0/1$ indicator

因為只有一個 trial，所以 outcome 只有一個，因此所有的 states 裡面只有一個會發生，因此只有一個

$N_i$ 會是

$1$，其他都是

$0$。

滿足：