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title: 特徵方程式
tags: [研究所, 數學]

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# 特徵方程式

以下內容皆出自最下方 Reference 的文章，節錄了主要會遇到的題型該怎麼處理，以及我自己較詳細的解題過程，如果覺得我寫的看不習慣或太混亂 XD 可以直接去點文章來看
當然我也省略了很多部分，所以對證明有興趣的人也可以參考該文章

文章中的計算過程較為簡略，也可以看文章，看到不懂的再回過頭看看我有沒有寫，我基本上沒跳過什麼步驟，應該算是詳細的～雖然寫的題目也不多就是了 XDD

計算過程字比較小的地方再麻煩自己放大囉

- 最下方有「解法步驟、各型整理」，複習時可直接看那部分，忘記詳細內容的時候再回過頭來看，也可全文念完再來看一看整理思路
-  Reference 的文章最後還有一些練習題（有答案），作者說題目還不錯但我沒怎麼寫 XD 覺得題目寫不夠的人可以去看看

## 齊次

齊次的部分比較簡單，就沒有節錄定理、解題方法，只有一些題目與解題過程，如果有需要這部分內容，也是可點選最下方 Reference 的文章參考～


- 在相異實根、重根、共軛複根三種題型中，可以單純用一般解形式代進去解，也可以用線性代數的方法把遞迴關係式寫成矩陣再解。
在線性代數的方法中，因為求第 $a_n$ 項等同該矩陣乘 n 次，所以可以利用對角化去解 $A = PDP^{-1}$ 使 $A^n = PD^nP^{-1}$
不過，並非所有情況下 $A$ 都可對角化，只有相異實根、共軛複根兩種型可對角化，重根的話因為不可對角化，就要改用求 Jordan Form 求解
不過不管是對角化或是求 Jordan Form 我都覺得比直接用一般解形式代進去解慢很多，所以就看個人喜好斟酌要用哪種方式囉
- 在下面三種題型中，共軛複根的那題很常見，推薦看一看



### 相異實根



![image](https://hackmd.io/_uploads/ByMuBs7tp.png)




#### 應用：Fibonacci number


![13. 題目](https://hackmd.io/_uploads/r1CfpbBKa.png)

解答寫太快，最後 Fibonacci number 表格有誤
$F_0 = 0$，所有 index $i$ 應往左平移

此遞迴關係式是 Fibonacci number 平移後的結果，因為 $F_1 = 1$,  $F_2 = 1$,  $F_3=2$
對應關係為： $a_1=F_2$ , $a_2=F_3$
即 $a_n=F_{n+1}$
因此，$a_{10}=F_{11}$ 實際上才是 $89$


![13.](https://hackmd.io/_uploads/H1hRnbBKp.jpg)


> Fibonacci number 
<img src="https://hackmd.io/_uploads/H1fD8FIOT.png" width="40%" height="auto">

![image](https://hackmd.io/_uploads/HkY_hFLda.png)

### 重根

重根時 A 不可對角化 $\rightarrow$ Jordan Form

![image](https://hackmd.io/_uploads/ry_zNzIFT.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/SJxVNGIYp.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/HkZBEMUK6.png)


其中，對 Jordan Form 取 n 次方 $(J_A)^n$ 的做法：

![3A25C651-9515-4A61-846C-0102D034136A_1_102_a](https://hackmd.io/_uploads/ByynSf8Fa.jpg)





#### 三重根


![image](https://hackmd.io/_uploads/rke9NZSK6.jpg)



### 共軛複根

1.
![image](https://hackmd.io/_uploads/HJVdRumKp.jpg)


![image](https://hackmd.io/_uploads/HyZ7TuXYa.jpg)

2.

![image](https://hackmd.io/_uploads/ByH2LeHta.jpg)



### 混合


![image](https://hackmd.io/_uploads/H1ZWJY7KT.jpg)




## 非齊次



![image](https://hackmd.io/_uploads/ryUBpsQKp.png)




### 多項式型

![image](https://hackmd.io/_uploads/r1Z40iXK6.png)

- <font color = "red"> 1 有幾個就乘幾個 n </font>

#### 例子

##### 1 不為特徵根
![image](https://hackmd.io/_uploads/SktGVnmK6.png)


##### 1 為特徵根

![image](https://hackmd.io/_uploads/H1rRihQK6.png)

### 指數型

![image](https://hackmd.io/_uploads/BJbpo6Eta.png)

> 指數出現零次、一次、兩次特解的樣子

![image](https://hackmd.io/_uploads/Syn-3pNtT.png)

##### 指數不為特徵根

![image](https://hackmd.io/_uploads/r1w6JAEYa.png)

##### 指數為特徵根的單根

![image](https://hackmd.io/_uploads/H1GQgyStp.png)


##### 兩個指數

![image](https://hackmd.io/_uploads/BJpde-rKT.jpg)

![image](https://hackmd.io/_uploads/S1z5eWHF6.jpg)



##### 應用問題

![image](https://hackmd.io/_uploads/ryFpKJBtp.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/Bk2CKyBta.png)


### 三角函數型

![image](https://hackmd.io/_uploads/HJDZa1rtT.png)



## 解法步驟、各型整理

![image](https://hackmd.io/_uploads/BktW0JBKp.png)
![image](https://hackmd.io/_uploads/HkeXRyHFa.png)

![image](https://hackmd.io/_uploads/rJxqJgrKa.png)


![image](https://hackmd.io/_uploads/SyatakBtp.png)

# Reference
- [線性遞迴關係之求解(下)](https://web.math.sinica.edu.tw/math_media/d341/34104.pdf)