# 補充：Chi-Square Distribution

因為 chi-square distribution 是 gamma distribution 的特例，又 gamma distribution 和 poisson distribution 有關，所以在閱讀這篇筆記前可先參考本章後半部其餘筆記：

- 補充：Poisson Distribution
- 補充：Gamma Distribution
> 其實 gamma distribution 也算是 exponential distribution 的推廣，所以看這篇時如果有對 exponential distribution 不熟悉的地方，也可參考筆記「補充：Exponential Distribution」

## 定義

chi-square distribution 其實是 gamma distribution 的特例。gamma distribution 的 pdf 中，parameters 有 $\theta, \alpha$，而 chi-square distribution 即是當：

:::info
\begin{equation}
\theta = 2 \quad \alpha = \frac{r}{2} \qquad \text{where} \ r \in \mathbb{Z^+}
\end{equation}
:::

對照著看 gamma distribution 的 pdf 以及代入上述值的結果：


這裡值得注意的是明明作為特例，但 chi-square 的 pdf $f(x)$ 的 domain 和原本的不同，$x$ 變成不能等於零，為什麼呢？

理由是在 $x=0$ 時這個 pdf 的定義是有問題的：


確認這件事以後，我們來正式定義 chi-square distribution：

:::info
如果 $X$ 具 gamma distribution，且 $\theta = 2 \quad \alpha = \frac{r}{2} \quad r \in \mathbb{Z^+}$，即它的 pdf 為：
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{\Gamma(\frac{r}{2})2^{\frac{r}{2}}}x^{\frac{r}{2}-1}e^{-\frac{x}{2}} \qquad 0 < x < \infty
\end{equation}
則我們稱 $X$ 具 <font color = "blue">chi-square distribution with $r$ degrees of freedom</font>，並用 $X$ 為 ==$\chi^2(r)$== 表示。
:::
> 關於 “number of degrees of freedom” 的概念後面會再解釋。

## 特性

先講結論， chi-square distribution 的 mean 和 variance 為：

:::success
chi-square distribution：
\begin{equation}
\mu = r \qquad \sigma^2 = 2r
\end{equation}

$\rightarrow$ mean $\mu$ 是 degree of freedom $r$，variance $\sigma^2$ 則是 degree of freedom $r$ 的兩倍。
:::

由於 chi-square distribution 是 gamma distribution 的特例，我們可以從 gamma distribution mean 和 variance 的公式直接代入：

> 關於 gamma distribution 的 mean 和 variance 為甚麼是這樣，可參考筆記「補充：Gamma Distribution」。

## 例子


# 參考資料

- Hogg,Tanis,Zimmerman, Probability and Statistical Inference, 9th ed(2015), p.101-103
> 對應 $3.2$ 小節 the Exponential, Gamma, and Chi-Square Distributions 的後半部分。