# 補充：joint moment generating functions

在筆記「[補充：moment generating function (mgf)](https://hackmd.io/@pipibear/HyWZSx2NR)」中，我們定義了一個 random variable $X$ 的 moment generating function (mgf) 為：

\begin{equation}
M_X(t) = E[e^{tX}] =
\begin{cases}
\sum_{x \in S}e^{tx}f(x) \qquad &\text{if } X \text{ discrete}\\
\int_{-\infty}^{\infty}e^{tX}f(x)\,dx \qquad &\text{if } X \text{ continuous}
\end{cases}
\end{equation}

其中 $S$ 為 sample space，$f(x)$ 為 $X$ 的 pmf / pdf。

## 定義

當時我們只有一個 random variable $X$，但現在這個小節裡，我們想要把 mgf 推廣到兩個或兩個以上的 random variables，定義如下：

:::info
對任何 $n$ 個 random variables $X_1, X_2,..., X_n$

它們的 joint moment generating function $M(t_1,...,t_n)$ is defined $\forall t_1,...,t_n \in \mathbb{R}$ by：
\begin{equation}
M(t_1,...,t_n) = E[e^{t_1X_1 + ... + t_nX_n}]
\end{equation}
:::

## 特性、定理

### 由 joint mgf 求個別 mgf


### independent 若且唯若 joint pdf 可寫成個別 pdf 乘積

關於 joint mgf 有一個特性，但是這個特性的證明比較複雜，在此先省略，此特性如下：

:::success
joint mgf $M(t_1,...,t_n)$ uniquely determines $X_1, X_2,..., X_n$ 的 joint distribution。
:::

根據這個特性，我們可以用來證明另一個定理：

:::success
\begin{equation}
\begin{split}
&X_1, X_2,..., X_n: \text{ independent} \\
\iff &M(t_1,...,t_n) = M_{X_1}(t_1) \times ... \times M_{X_n}(t_n)
\end{split}
\end{equation}
:::

證明如下：

> 其中
> - independence 的筆記連結「[補充：mgf technique](https://hackmd.io/@pipibear/Bk1JuX2VA)」
> - 最後的部分，如果 random variables independent，則它們的 joint pdf 為個別 pdf 相乘，這件事也是一個定理，但我好像沒有特別證 XD

## 例子

> 其中框框處 normal distribution 的 mgf 怎麼來的，可參考筆記「[A.3.5 Normal(Gaussian) Distribution](https://hackmd.io/@pipibear/rkq0ZkoEC)」的「證明」部分。

# 參考資料
- Sheldon Ross, A first course in Probability, 9th ed, p.366-367
> Section 7.1 joint moment generating functions