# A.3.4 Uniform Distribution
## 定義

一個 random variable $X$ 是 <font color = "snake">uniformly distributed (over interval $[a,b]$)</font>，若它的 density function 定義成：
> - interval 是 closed $[a,b]$ 或 open $(a,b)$ 皆可，因為邊界的值並不重要。
>
> 有時候我們像下方定義，將 $f(a), f(b)$ 定為 $\frac{1}{b-a}$，但訂為 $0$ 或不同的數字也可以。
>
> $\rightarrow$ 定什麼值通常是根據不同的 context，如果是在討論 maximum likelihood 的情況下通常就會定成如下方的定義。
>> 更詳細的說明可參考 wiki: [continuous uniform distribution](https://en.wikipedia.org/wiki/Continuous_uniform_distribution)


> 課本在此使用的是 probability "density" function（而非 probability "mass" function），因此討論的是針對 continuous 的 random variable。
>
> 在討論 uniform distribution 時，通常指的是 continuous 的 uniform distribution，因為常見的應用都是 continuous 的，像是在某個區間 $[a,b]$ 內 randomly 產生一個數字；但是當然，一個 <font color = "red">discrete 的 random variable 也可以是 uniform distribution</font>，舉例來說，像是擲骰子擲到每個數字的機率都是 $\frac{1}{6}$。

## 特性

如果 random variable $X$ 是 uniform 的，那麼它的 expected value 和 variance 為：