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title: A.1.1 Axioms of Probability
tags: [ML]

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# A.1.1 Axioms of Probability

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1. $0\le P(E) \le 1$
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> 任何 event $E$ 發生的機率介於 $0$ 和 $1$ 之間

$\rightarrow$ 如果某個 event $E_1$ 完全不可能發生，那麼 $P(E_1)=0$；如果某個 event $E_2$ 必定會發生，那麼 $P(E_2)=1$。

:::info
2. $S$ 是包含所有可能結果的 sample space，所以 <font color = "blue">$P(S)=1$</font>
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- <font color =  "snake">null event</font> ==$\varnothing$==：不包含任何可能的結果的 event
> null event 對應到的是一種理想情況下的數學概念，所以也不一定會在現實生活中有什麼實際的意涵。它的其中一個用意是在於：
> 因為我們把 event 定義成一些可能的結果所成的++集合++，為了保持集合論的 consistency，所以我們就必須要有 null event 的存在。
- <font color =  "snake">mutually exclusive</font>：如果 $E_i\ ,\ i=1,...,n$ 是 mutually exclusive，那對任何 $j\ne i$，$E_i\ \cap \ E_j = \varnothing$，並且：

![A.1](https://hackmd.io/_uploads/S1a60TWz0.png)
> 所有 $n$ 個可能的 event 的聯集（也就是所有 $n$ 個 event 包含的所有可能結果）的機率，等於每個 event 個別的機率相加。

$\rightarrow$ 舉例來說，如果我們用 ==$E^c$== 代表 <font color = "snake">event $E$ 的 complement</font>，也就是 sample space $S$ 裡所有不包含在 $E$ 中的可能結果所成的集合，那我們就能得到：

$E\ \cap \ E^c = \varnothing$

並且由上文中的 $A.1$，我們可以得到：

\begin{split}
P(E\ \cup \ E^c) = P(E)&+P(E^c) = 1 \\ \\ 
P(E^c) = 1 - P(E)
\end{split}

如果 $E \ \cap \ F \ne \varnothing$，則：

![A.2](https://hackmd.io/_uploads/r1MmVC-GC.png)