# A.2.4 Bayes' Rule

> 上方式 $A.18$ 為 Bayes' Rule。

我們先不看定義，先想一個例子來看看 Bayes' Rule 的作用。

假設有兩個事件 $x,y$，而 $y$ 是造成 $x$ 的原因，例如：

:::success
$y$ 是「放暑假出去玩」
$x$ 是「曬黑」
:::

那麼 $P(x|y)$ 的意思就是我們知道某個人放暑假出去玩的情況下，他曬黑的機率。

從這個方向來看，就是去預測某個結果，也是我們平常最容易去觀察的方式；而 Bayes' Rule 的作用，就是反過來讓我們能透過比較簡單的已知，去逆推 $P(y|x)$。

在這個例子裡也就是假設我們看到有個曬黑的人，那他曬黑的理由是因為他放暑假出去玩的機率。
> 從這個角度來看，Bayes' Rule 的方向有點類似去提供一個方法來「診斷」某個事件的原因。

用現在這個例子回過來看 $A.18$：

第一個等號右邊的分母：

$P_X(x) \rightarrow$ （不管這個人是不是因為放暑假出去玩）曬黑的機率

分子：

$P_Y(y) \rightarrow$ 普遍來說大眾放暑假出去玩的機率
$P(x|y) \rightarrow$ 放暑假出去玩的情況下，曬黑的機率

如果這些都是已知，我們就可以把 prior probability $P_Y(y)$ 轉換成 posterior probability $P(y|x)$，這就是 Bayes' Rule 的用途。