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# System prepended metadata

title: A.3 Special Random Variables
tags: [ML]

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# random variables 概念回顧
## random variables 的定義
回顧一下前面提過關於 random variables 的事情：

當我們在談 random variables 時，我們在說的是++一個 function++，這個 function 會去對一個 random experiment 的每一種可能的 outcome assign 一個對應的值，為的是讓我們可以用數值的計算去衡量這個 experiment 的結果。
> $\rightarrow$ 可以回想之前擲骰子的例子，其中一種可能的 random variable，就是將「1 assign 給擲到 1」⋯⋯「6 assign 給擲到 6」

## random variables 的分類
那對於 random variables 的分類，我們可以大略分成兩種：

1. ==discrete==
> 例子就像是前面的擲骰子、擲硬幣，結果不是連續的值（例如骰子擲到一和二之間沒有擲到 1.5）
2. ==continuous==
> 例子如確切的平均身高

## random variables 和 probability distribution 的關係

接著根據這些 random variables 將實驗結果 map 到的值的分佈情形，我們可以去計算它們的 probability distribution。

根據前面的分類：

### probability mass function (PMF)
如果是 discrete，那我們用 <font color = "snake">probability mass function (PMF)</font> 來稱呼「描述這個 discrete random variable 分佈情形的 function」，例如：

假設我們的 random variable $X$ 是所有擲一個公平骰子的可能性 $X = \{1,2,...,6\}$（如前述擲到 1 則 $x=1$）

那麼它的 probability mass function (PMF) 也就是：

\begin{equation}
P(X=x) = \frac{1}{6}, \quad \text{for} \ x=1,...,6
\end{equation}

### probability density function (PDF)
同樣的概念，如果 random variable 是 continuous，那麼我們就用 <font color = "snake">probability density function (PDF)</font> 來稱呼「描述這個 continuous random variable 分佈情形的 function」。

總結一下 random variable 和 probability distribution function 之間的關係：

![image](https://hackmd.io/_uploads/BJGwPj5EA.png)
> 其實英文講得很清楚，但中文意思大概是：
> - 一個 random variable 會有一個和它對應的 probability distribution ，來告訴我們結果的分佈情形是什麼樣子。
> - 一個 distribution 會藉由機率來描述一個 random variable 的行為。

## Summary
![image](https://hackmd.io/_uploads/ryOX_iq4R.png)

在對總結有了概念後，看一下下方的 terminology，就可以進入下面各小節的內容，也就是列舉一些常見的 random variables 的類型。

# Terminology

這些 terminology 大部分在前面的章節已經有更詳細的講過，在此只是簡單回顧。

## random experiment 
random experiment 是某個會產生++無法確定的結果++的過程，例子如擲硬幣、擲骰子⋯⋯。

## trial

trial 是一次 random experiment 的執行，每個 trial 都會產生這個 experiment 的可能 outcome 中的其中一種。

假設你擲硬幣十次，那麼每次都是一個 trial。

## outcome

outcome 就是 random experiment 的一個 trial 的結果，例如擲硬幣時的 outcome 可能為 "heads" 或 "tails"。

## sample space

某個 random experiment 所有可能的 outcomes 所成的集合，例如「擲硬幣」這個 random experiment 的 sample space $=\{\text{heads, tails}\}$

## event

event 是一個 sample space 的 subset，包含一個或多個 outcomes（因為 sample space 是所有可能 outcomes 的集合）。

舉例來說：

在擲骰子這個 random experiment 中，它的 sample space $=\{1,2,3,4,5,6\}$
那麼「擲到偶數」是一種可能的 event，而這個 event $=\{2,4,6\}$ 是 sample space $\{1,2,3,4,5,6\}$ 的 subset。

