---
# System prepended metadata

title: Solution HNaOI Day 2

---

---
title: HNaOI Day 2
---

# Solution HNaOI Day 2

## Problem 1 : Tán gái 505

Trước hết, ta sẽ biến đổi biểu thức $S$ như sau :

$$ S = \sum_{i = 1} ^ {n - 1} \frac{gcd(a_i, a_{i + 1})}{a_i \times a_{i + 1}} = \sum_{i = 1} ^ {n - 1} \frac{1}{lcm(a_i, a_{i + 1})}$$

Từ đó ta sẽ có **bất đẳng thức** sau : 

$$ S = \sum_{i = 1} ^ {n - 1} \frac{1}{lcm(a_i, a_{i + 1})} \le 1 - \frac{1}{2 ^ {n - 1}}$$.

Ta sẽ chứng minh bất đẳng thức này bằng phương pháp **quy nạp :**

1. Xét $n = 2$, khi đó ta có :  

$$
\\ S \le \frac{1}{lcm(1, 2)} = \frac{1}{2} = 1 - \frac{1}{2 ^ {2 - 1}}(tm)\\
$$

2. Giải sử $n$ đúng với $k(k \ge 2)$, ta sẽ đi chứng minh $n$ đúng với $k + 1$ .
    
    * Xét $a_{k + 1} \ge 2 ^ k$ $\Longrightarrow lcm(a_k, a_{k + 1}) \ge a_{k + 1} \ge 2 ^ k$. Theo giả thiết quy nạp, ta có :
    $$ \frac{1}{lcm(a_1, a_2)} + \frac{1}{lcm(a_2, a_3)} + ... + \frac{1}{lcm(a_k, a_{k + 1})} \le 1 - \frac{1}{2 ^ {k - 1}} + \frac{1}{2 ^ k} = 1 - \frac{1}{2 ^ k} (tm)$$
    
    * Xét $a_{k + 1} < 2 ^ k$, khi đó ta có :
    
    $$ \frac{1}{lcm(a_i, a_{i + 1})} = \frac{gcd(a_i, a_{i + 1})}{a_i a_{i + 1}} \le \frac{a_{i + 1} - a_i}{a_i a_{i + 1}} = \frac{1}{a_i} - \frac{1}{a_{i + 1}}$$
    
    Cộng các vế của bất đẳng thức như trên với $i$ từ $1$ đến $k$, ta sẽ được : 
    
    $$ \frac{1}{lcm(a_1, a_2)} + \frac{1}{lcm(a_2, a_3)} + ... + \frac{1}{lcm(a_k, a_{k + 1})} \le \frac{1}{a_1} - \frac{1}{a_{k + 1}} \le 1 - \frac{1}{2 ^ k} (tm)$$
    
Theo phương pháp quy nạp, ta được điều phải chứng minh. 

Dấu $" = "$ xảy ra khi $a_i = 2 ^ {i - 1}$  $\forall i \in [1, n]$.

```c++

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

int main() {
    ios_base::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(NULL);
    int n; cin >> n;
    long double res = 1;
    cout << fixed << setprecision(0);
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        cout << res << " ";
        res += res;
    }
    return 0;
}

```

## Problem 2 : Tán gái 606

Lời giải sẽ được cập nhật trong thời gian sớm nhất

### Subtask 1 : 
    
Ta chỉ cần **dijkstra** từ đỉnh 1 đến các đỉnh còn lại ~~(quá ez với subtask này)~~.

### Subtask 2 :

Lúc này, ta không thể **dijkstra** một cách bình thường được. Thay vào đó ta có cách tiếp cận sau :

Gọi $dp[u][i]$ và thời gian nhanh nhất đi từ $1$ đến đỉnh $u$ mà dùng không quá $i$ chuyến bay. Lúc này ta có $2$ trường hợp như sau : 

* $dp[u][i] = min_{(u, v) \in E} (dp[v][i] + c_{u, v})$

* $dp[u][i] = min_{v = 1} ^ n dp[v][i - 1] + (u - v) ^ 2$

Nếu **dijkstra** bình thường, rất dễ bị **TLE**. Vậy nên, ta sẽ xử lí riêng từng thường hợp với mỗi $1 \le i \le k$.

```c++
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define MASK(x) (1LL << (x))
#define BIT(x, i) (((x) >> (i)) & 1)
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define REP(i, n) for (int i = 0, _n = n; i < _n; ++i)
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a), _b = (b); i <= _b; ++i)
#define FORD(i, a, b) for (int i = (a), _b = (b); i >= _b; --i)
#define FORE(i, a, b) for (int i = (a), _b = (b); i < _b; ++i)
#define debug(...) "[" << #__VA_ARGS__ ": " << (__VA_ARGS__) << "] "
#define file(name) if (fopen(name".inp", "r")) { freopen(name".inp", "r", stdin); freopen(name".out", "w", stdout); }

template <class A, class B> bool minimize(A &a, B b)  { if (a > b) { a = b; return true; } return false; }
template <class A, class B> bool maximize(A &a, B b)  { if (a < b) { a = b; return true; } return false; }

const int MAXN = 1e5 + 5;

int N, K, M;
vector <pair <int, int>> adj[MAXN];
long long dp[MAXN];

void dijkstra() {
    priority_queue <pair <long long, int>, vector <pair <long long, int>>, greater <pair <long long, int>>> q;
    FOR(i, 1, N) q.emplace(dp[i], i);
    while(!q.empty()) {
        auto [du, u] = q.top(); q.pop();
        if(dp[u] != du) continue;
        for (auto [v, w] : adj[u]) if(minimize(dp[v], dp[u] + w)) {
            q.emplace(dp[v], v);
        }
    }

}

void you_make_it(void) {
    cin >> N >> M >> K;
    while(M--) {
        int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
        adj[u].emplace_back(v, w);
        adj[v].emplace_back(u, w);
    }  
    memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
    dp[1] = 0;
    dijkstra();
    while(K--) {
        vector <long long> f(dp, dp + N + 1); // vector f sẽ có nhiệm vụ lưu lại trạng thái dp trước
        FOR(i, 1, N) {
            
            FOR(j, 1, N) {
                minimize(dp[i], f[j] + 1LL * (i - j) * (i - j)); // Xử lí trường hợp 2
            }
        }
        dijkstra(); // Xử lí trường hợp 1
    }
    FOR(i, 1, N) cout << dp[i] << " ";
}

signed main() {

#ifdef LOCAL
    freopen("TASK.inp", "r", stdin);
    freopen("TASK.out", "w", stdout);
#endif
    auto start_time = chrono::steady_clock::now();

    cin.tie(0), cout.tie(0) -> sync_with_stdio(0);

    you_make_it();

    auto end_time = chrono::steady_clock::now();

    cerr << "\nExecution time : " << chrono::duration_cast <chrono::milliseconds> (end_time - start_time).count() << "[ms]" << endl;

    return (0 ^ 0);
}

// Dream it. Wish it. Do it.

```

### Subtask 3 :

Để cải tiến trường hợp $2$ ở subtask $2$, ta sử dụng **CTDL** **Convex Hull Trick**. Nhận xét thấy rằng $dp[u][i] = dp[v][i - 1] + (u - v) ^ 2 = - 2uv +  v ^ 2 + dp[v][i - 1] + u ^ 2$

```c++
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define MASK(x) (1LL << (x))
#define BIT(x, i) (((x) >> (i)) & 1)
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define REP(i, n) for (int i = 0, _n = n; i < _n; ++i)
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a), _b = (b); i <= _b; ++i)
#define FORD(i, a, b) for (int i = (a), _b = (b); i >= _b; --i)
#define FORE(i, a, b) for (int i = (a), _b = (b); i < _b; ++i)
#define debug(...) "[" << #__VA_ARGS__ ": " << (__VA_ARGS__) << "] "
#define file(name) if (fopen(name".inp", "r")) { freopen(name".inp", "r", stdin); freopen(name".out", "w", stdout); }

template <class A, class B> bool minimize(A &a, B b)  { if (a > b) { a = b; return true; } return false; }
template <class A, class B> bool maximize(A &a, B b)  { if (a < b) { a = b; return true; } return false; }

template <class num_t = int>
struct convex_hull_trick {
    const num_t INF = (num_t) 1e18;
    struct line {
        num_t a, b;
        line(num_t a = 0, num_t b = 0) : a(a), b(b) {}
        num_t operator () (num_t x) { return a * x + b; } 
    };

    deque <line> lines;

    double slope(line x, line y) {
        return (long double) (y.b - x.b) / (long double) (x.a - y.a);
    }

    bool comp(line l1, line l2, line l3) {
        return slope(l1, l2) >= slope(l2, l3); // change <= to >= if you wanna get minimum
    }

    void add(num_t a, num_t b) {
        line tmp(a, b);
        while(lines.size() > 1 and comp(lines[lines.size() - 2], lines.back(), tmp)) lines.pop_back();
        lines.push_back(tmp);
    }

    num_t query(num_t x) {
        if(lines.empty()) return -INF;
        while(lines.size() > 1 and lines[0](x) >= lines[1](x)) lines.pop_front(); // change <= to >= if you wanna get minimum
        return lines.front()(x);
    }
};

const int MAXN = 1e5 + 5;

int N, K, M;
vector <pair <int, int>> adj[MAXN];
long long dp[MAXN];

void dijkstra() {
    priority_queue <pair <long long, int>, vector <pair <long long, int>>, greater <pair <long long, int>>> q;
    FOR(i, 1, N) q.emplace(dp[i], i);
    while(!q.empty()) {
        auto [du, u] = q.top(); q.pop();
        if(dp[u] != du) continue;
        for (auto [v, w] : adj[u]) if(minimize(dp[v], dp[u] + w)) {
            q.emplace(dp[v], v);
        }
    }

}

void you_make_it(void) {
    cin >> N >> M >> K;
    while(M--) {
        int u, v, w; cin >> u >> v >> w;
        adj[u].emplace_back(v, w);
        adj[v].emplace_back(u, w);
    }  
    memset(dp, 0x3f, sizeof dp);
    dp[1] = 0;
    dijkstra();
    while(K--) {
        convex_hull_trick <long long> cht;
        FOR(i, 1, N) cht.add(-2 * i, dp[i] + 1LL * i * i);
        FOR(i, 1, N) {
            minimize(dp[i], cht.query(i) + 1LL * i * i);
        }
        dijkstra();
    }
    FOR(i, 1, N) cout << dp[i] << " ";
}

signed main() {

#ifdef LOCAL
    freopen("TASK.inp", "r", stdin);
    freopen("TASK.out", "w", stdout);
#endif
    auto start_time = chrono::steady_clock::now();

    cin.tie(0), cout.tie(0) -> sync_with_stdio(0);

    you_make_it();

    auto end_time = chrono::steady_clock::now();

    cerr << "\nExecution time : " << chrono::duration_cast <chrono::milliseconds> (end_time - start_time).count() << "[ms]" << endl;

    return (0 ^ 0);
}

// Dream it. Wish it. Do it.

```
## Problem 3 : Tán gái 707

### Subtask 1 + 2

```c++
#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

#define MASK(x) (1LL << (x))
#define BIT(x, i) (((x) >> (i)) & 1)
#define ALL(x) (x).begin(), (x).end()
#define REP(i, n) for (int i = 0, _n = n; i < _n; ++i)
#define FOR(i, a, b) for (int i = (a), _b = (b); i <= _b; ++i)
#define FORD(i, a, b) for (int i = (a), _b = (b); i >= _b; --i)
#define FORE(i, a, b) for (int i = (a), _b = (b); i < _b; ++i)
#define debug(...) "[" << #__VA_ARGS__ ": " << (__VA_ARGS__) << "] "
#define file(name) if (fopen(name".inp", "r")) { freopen(name".inp", "r", stdin); freopen(name".out", "w", stdout); }

template <class A, class B> bool minimize(A &a, B b)  { if (a > b) { a = b; return true; } return false; }
template <class A, class B> bool maximize(A &a, B b)  { if (a < b) { a = b; return true; } return false; }


const int MAXN = 6e5 + 5;
const int base = 3e5;

int par[MAXN], sz[MAXN], cntx[MAXN], cnty[MAXN];
long long total_sum;

int find(int u) { return u == par[u] ? u : par[u] = find(par[u]); }

bool merge(int u, int v) {
    u = find(u), v = find(v);
    if(u == v) return false;
    if(sz[u] < sz[v]) swap(u, v);
    total_sum -= 1LL * cntx[u] * cnty[u] + 1LL * cntx[v] * cnty[v];
    par[v] = u;
    sz[u] += sz[v];
    cntx[u] += cntx[v];
    cnty[u] += cnty[v];
    total_sum += 1LL * cntx[u] * cnty[u];
    return true;
}

long long calc(vector <pair <int, int>> tmp) {
    total_sum = 0;
    for (auto [x, y] : tmp) {
        sz[x] = sz[y + base] = 1;
        par[x] = x, par[y + base] = y + base;
        cntx[x] = 1, cnty[x] = 0;
        cntx[y + base] = 0, cnty[y + base] = 1;
    }
    for (auto [x, y] : tmp) merge(x, y + base);
    return total_sum;
}
void you_make_it(void) {
    int Q; cin >> Q;
    vector <pair <int, int>> tmp;
    while(Q--) {
        int x, y; cin >> x >> y;
        bool exist = false;
        REP(i, (int) tmp.size()) {
            if(tmp[i] == make_pair(x, y)) {
                exist = true;
                tmp.erase(tmp.begin() + i);
                break;
            }
        }
        if(!exist) tmp.emplace_back(x, y);
        cout << calc(tmp) << " ";
    }
}

signed main() {

#ifdef LOCAL
    freopen("TASK.inp", "r", stdin);
    freopen("TASK.out", "w", stdout);
#endif
    auto start_time = chrono::steady_clock::now();

    cin.tie(0), cout.tie(0) -> sync_with_stdio(0);

    you_make_it();

    auto end_time = chrono::steady_clock::now();

    cerr << "\nExecution time : " << chrono::duration_cast <chrono::milliseconds> (end_time - start_time).count() << "[ms]" << endl;

    return (0 ^ 0);
}

// Dream it. Wish it. Do it.

```