# 微積分5-4線積分、分段積分~6.3三角代換

# 5-4 線積分
## arc length
每一段點到點的距離，只要點越多，連起來就越像曲線。

$\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2} \mathrm{d}x$

## 旋轉表面積
把線旋轉積分就是表面積。
圓表面積$2\pi r$

$2\pi\int_a^bf(x)\sqrt{1+f'(x)^2} \mathrm{d}x$

## 一維質心座標

$\bar x=\frac{\sum\limits_{x = 1}^k{x_im_i}}{\sum\limits_{x = 1}^k{m_i}=A}$

## 二維質心座標
$\rho=$密度density
$y=f(x),y=g(x)$
$A=M=\rho\int_a^b[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$
$M_x=\rho\int_a^b{[\frac{f(x)-g(x)}{2}]}[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$

$M_y=\rho\int_a^b{x}[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$
$\bar x=\frac{M_y}{M}$
$\bar y=\frac{M_x}{M}$

上面都不重要
$\bar x=\frac{1}{A}\int_a^b{x}[f(x)-g(x)]\mathrm{d}x$
$\bar y=\frac{1}{A*2}\int_a^b[f(x)^2-g(x)^2]\mathrm{d}x$

## 6-1 分布積分
$\int u\mathrm{d}v=uv -\int vu$
對u不斷微分，對v不斷積分。

$e^{ax}>\sin x,\cos x>x^n>\ln x,\sin^{-1}x$
$\int x^2\sin x\mathrm{d}x$

| | 微分 | 積分 | Column 2 | Column 3 |
|:---:| ---- | ---- | -------- | -------- |
| + | u=x^2 | dv=sin dx | | |
| - | | | | |
| + | | | | |
| - | | Text | Text | Text |

## 6-2 三角函數降階
$\sin^2x=\frac{1-\cos2x}{2}$
$\cos^2x=\frac{1+\cos2x}{2}$


## 6-3 三角代換

$\cos^2x=1-\sin^2x$看到$\sqrt{a^2-u^2}令x=sinx$
$\sec^2x=1+\tan^2x$看到$\sqrt{a^2+u^2}令x=tanx$
$\tan^2x=\sec^2x-1$看到$\sqrt{u^2-a^2}令x=secx$