$$
\cos^{-1} \frac{7}{25}+2\cos^{-1}\frac{3}{5} \mbox{を解く}
$$

(自己流)

まず

$$
\alpha = \cos^{-1} \frac{7}{25} \\
\beta = \cos^{-1}\frac{3}{5}
$$

とおく．したがって

$$
\frac{7}{25} = \cos \alpha \quad \left(0 \leq \alpha \leq \pi\right)\\
\frac{3}{5} = \cos \beta \quad \left(0 \leq \beta \leq \pi\right) \\
\frac{24}{25} = \sin \alpha\\
\frac{4}{5} = \sin \beta
$$

となる．

また$\alpha, \beta$の範囲は$\sin, \cos$の値より$0<\alpha,\beta<\frac{\pi}{2}$に制限される．

ここで

$$
\sin(\alpha + 2 \beta) = \sin\alpha \cos 2\beta+\cos\alpha\sin 2\beta = 0 \\
\cos(\alpha + 2 \beta) = \cos\alpha\cos 2\beta-\sin\alpha\sin2\beta = -1
$$

となるので

$$
\tan (\alpha+2\beta) = \frac{\sin (\alpha+2\beta)}{\cos(\alpha+2\beta)} \\
= 0
$$

となる．

$\alpha, \beta$の範囲を考えると$0<\alpha+2\beta<\frac{3\pi}{2}$であるので，$\alpha+2\beta=\pi$．

**追記**

$\alpha+2\beta$の範囲と$\cos(\alpha+2\beta)$の情報からすぐに導いてもいいと思う