## 複素数と線形変換

複素数$\alpha = a+b\mathbb{i}$にある複素数$z$を掛ける写像

$$ f: \mathbb{C} \to \mathbb{C} $$

すなわち
$$ f(z) = \alpha z$$
を考える．

複素数の基底を与える写像

$$ \varphi: \mathbb{R}^2 \to \mathbb{C} $$

を

$$ \varphi({x}) = \begin{pmatrix} 1 &\mathbb{i}\end{pmatrix} x $$

とする．全単射となるので$\mathbb{C}$は$\mathbb{R}$上の二次元ベクトル空間と言える．
すなわち

$$ \varphi^{-1}: \mathbb{C} \to \mathbb{R}^2 $$

が存在する．

$\mathbb{C}$の基底を決めたので，次は$f_A=\varphi^{-1} \circ f \circ \varphi$を表す表現行列$A$を求める．
図で示すと[こう](https://tikzcd.yichuanshen.de/#N4Igdg9gJgpgziAXAbVABwnAlgFyxMJZABgBoBGAXVJADcBDAGwFcYkQAdDgW3pwAsARoOAAlAL4A9AEwhxpdJlz5CKMsWp0mrdl14DhwAMLi5mmFADm8IqABmAJwjckZEDghJyNOPyx2cJABaby0WNkRODgYHND85BRBHZy8aD1caBnDdaPpYv0lgENN5eycXRFD0yppGCAg0InIADjI7JjgYTUZ6QRhGAAUlPAJ2ByxLfkDM7Qiks3EgA)．

標準基底は$e_1 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}, e_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$であるから

$$
\begin{aligned}
f_A(e_1) &= \varphi^{-1} \circ f \circ \varphi (e_1) \\
&= \varphi^{-1} \circ f (1) \\
&= \varphi^{-1} (a+b\mathbb{i}) \\
&= \begin{pmatrix} a\\b\end{pmatrix}
\end{aligned}
\\
\begin{aligned}
f_A(e_2) &= \varphi^{-1} \circ f \circ \varphi (e_2) \\
&= \varphi^{-1} \circ f (\mathbb{i}) \\
&= \varphi^{-1} (-b+a\mathbb{i}) \\
&= \begin{pmatrix} -b\\a\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

となるので，これらを横べて

$$
A = \begin{pmatrix}
a & -b \\
b & a
\end{pmatrix}
$$

となる．

ためしに$2+\mathbb{i}$すなわち$\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$を45度回転させてみる．

45度回転させるためには，複素数なら$1+\mathbb{i}$を掛ければよい．
よって，ここからは

$$
A = \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}
$$

とする．

計算すると

$$
\begin{aligned}
A \begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}
1 & -1 \\
1 & 1
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix} \\
&= \begin{pmatrix}
1 \\ 3
\end{pmatrix}
\end{aligned}
$$

となる．複素数に直すと$1+3\mathbb{i}$となり，45度回転しているとわかる．

# 参考

https://senkei.nomaki.jp/representation_matrix.html

https://senkei.nomaki.jp/complex_number_matrix.html